《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

7. 若 $x = (a + 3)(a - 5)$，$y = (a + 2)(a - 4)$，则 $x$ 与 $y$ 的大小关系是x ＜ y.

答案： 7.$x ＜ y$

8. 若 $a ＞ b$，则 $a^{3}$ 与 $b^{3}$ 的大小关系是a^3 ＞ b^3.

答案： 8.$a^3 ＞ b^3$

9. 已知正数 $a$，$b$，$c$ 满足 $ab + bc + ca = 1$，求证：$(a + b + c)^{2}\geqslant 3$.

答案： 9.证明：因为$a^2 + b^2\geqslant2ab$，$b^2 + c^2\geqslant2bc$，$c^2 + a^2\geqslant2ca$，所以$2(a^2 + b^2 + c^2)\geqslant2(ab + bc + ca)$（当且仅当$a = b = c$时，等号成立），所以$a^2 + b^2 + c^2\geqslant1$，所以$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca\geqslant1 + 2$，所以$(a + b + c)^2\geqslant3$.

10. 某电脑用户计划使用不超过 $500$ 元的资金购买单价分别为 $60$ 元、$70$ 元的鼠标和键盘. 根据需要，鼠标至少买 $3$ 个，键盘至少买 $2$ 个，则不同的选购方式有多少种？

答案： 10.解：设购买鼠标、键盘分别为$x$个、$y$个.依题意，得$\begin{cases}60x + 70y\leqslant500,\\x\geqslant3,\\y\geqslant2,\\x,y\in N^*,\end{cases}$即$\begin{cases}6x + 7y\leqslant50,\\x\geqslant3,\\y\geqslant2,\\x,y\in N^*.\end{cases}$
(1)当$x = 3$时，$2\leqslant y\leqslant\frac{32}{7}$，因为$y\in N^*$，所以$y = 2$，$y = 3$，$y = 4$，此时有$3$种选购方式.
(2)当$x = 4$时，$2\leqslant y\leqslant\frac{26}{7}$，因为$y\in N^*$，所以$y = 2$，$y = 3$，此时有$2$种选购方式.
(3)当$x = 5$时，$2\leqslant y\leqslant\frac{20}{7}$，因为$y\in N^*$，所以$y = 2$，此时有$1$种选购方式.
(4)当$x = 6$时，$y = 2$，此时有$1$种选购方式.所以共有$7$种选购方式.

11. 下列不等式成立的是(ABC)

A.$a^{2}+2 ＞ 2a$
B.$a^{2}+b^{2}\geqslant 2(a - b - 1)$
C.$a^{2}+b^{2}\geqslant ab$
D.$\frac{1}{a^{2}}+1 ＜ \frac{1}{a}$

答案： 11.ABC

12. 某公司有 $20$ 名技术人员，计划开发 $A$，$B$ 两类共 $50$ 件电子器件，每类每件所需人员数和产值如下：

要使总产值最高，则 $A$ 类电子器件应开发20件，总产值最高为330万元.

答案： 12.$20$ $330$