《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

4. 计算：$ \log_{3}2 \cdot \log_{8}3 = $$\frac{1}{3}$.

答案： 4.$\frac{1}{3}$

5. 设 $ 2^{a} = 5^{b} = m $，且 $ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 $，则 $ m = $$\sqrt{10}$.

答案： 5.$\sqrt{10}$

6. 计算：（1）$ \log_{5}25 + \lg \frac{1}{100} + \ln \sqrt{e} + 2^{\log_{2}3} $；
（2）$ \frac{1}{2}\lg \frac{32}{49} - \frac{4}{3}\lg \sqrt{8} + \lg \sqrt{245} $.

答案： 6.解：
(1)原式=$\frac{7}{2}$.
(2)原式=$\frac{1}{2}$.

7. 已知 $ x $，$ y $ 为正实数，则(D)

A.$ 2^{\lg x + \lg y} = 2^{\lg x} + 2^{\lg y} $
B.$ 2^{\lg (x + y)} = 2^{\lg x} \cdot 2^{\lg y} $
C.$ 2^{\lg x \cdot \lg y} = 2^{\lg x} + 2^{\lg y} $
D.$ 2^{\lg (xy)} = 2^{\lg x} \cdot 2^{\lg y} $

答案： 7.D

8. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，已知该公司 2023 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是( $ \lg 20 \approx 1.30 $，$ \lg 13 \approx 1.11 $，$ \lg 1.12 \approx 0.05 $)(C)

A.2025 年
B.2026 年
C.2027 年
D.2028 年

答案： 8.C

9. 若 $ a = \log_{4}3 $，则 $ 2^{a} + 2^{-a} = $$\frac{4}{3}\sqrt{3}$.

答案： 9.$\frac{4}{3}\sqrt{3}$

10. 计算：（1）$ \log_{\sqrt{3}}27 + \lg 4 + \lg 25 $；
（2）$ \lg 5(\lg 8 + \lg 1000) + (\lg 2^{\sqrt{3}})^{2} + \lg \frac{1}{6} + \lg 0.06 $.

答案： 10.解：
(1)原式=8.
(2)原式=1.

11. 2019 年某地生产总值为 $ a $ 亿元，如果平均每年增长 8%，那么经过多少年后生产总值是 2019 年的 2 倍？（ $ \lg 2 \approx 0.3010 $，$ \lg 1.08 \approx 0.0334 $，精确到 1 年）

答案： 11.解：约经过9年后生产总值是2019年的2倍.

12. 甲、乙两人解关于 $ x $ 的方程 $ \log_{2}x + b + c\log_{x}2 = 0 $，甲写错了常数 $ b $，得到根为 $ x = \frac{1}{4} $ 或 $ x = \frac{1}{8} $；乙写错了常数 $ c $，得到根为 $ x = \frac{1}{2} $ 或 $ x = 64 $. 原方程的根为(CD)

A.$ x = 2 $
B.$ x = 3 $
C.$ x = 4 $
D.$ x = 8 $

答案： 12.CD

13. 计算：$ \log_{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = $$-\frac{1}{2}$，$ 2^{\log_{2}3 + \log_{4}3} = $$3\sqrt{3}$.

答案： 13.$-\frac{1}{2}$ $3\sqrt{3}$