《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 1】
(1) 函数 $ f(x) = \frac{(x - 2)\ln x}{x - 3} $ 的零点是________。
(2) 函数 $ f(x) = \begin{cases} \ln x - 1, x ＞ 0, \\ -x^{2} - 2x, x \leq 0 \end{cases} $ 的零点是e,0 和 -2。
(3) 已知函数 $ f(x) = x^{2} + 3(m + 1)x + n $ 的零点为 $ 1 $ 和 $ 2 $，则函数 $ y = \log_{n}(mx + 1) $ 的零点为0。
【思路探索】
(1) 在第(2)小题中，如何求分段函数的零点？
(2) 在第(3)小题中，已知函数零点，如何处理？

答案：
(1)1 和 2　 
@@
(2)e,0 和 -2　 
@@
(3)0
 
(1)提示：在每一段上分别令 $f(x) = 0$ 来求解.
(2)提示：利用零点对应的函数值为零来求解.

1. 若函数 $ f(x) = \frac{2}{3^{x} + 1} + a $ 的零点为 $ 1 $，则实数 $ a $ 的值为(B)

A.$-2$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$2$

答案： 1.B

2. 若函数 $ f(x) = \begin{cases} 2^{-x}, x \leq 1, \\ \log_{81}x, x ＞ 1, \end{cases} $ 则函数 $ g(x) = f(x) - \frac{1}{4} $ 的零点为3。

答案： 2.3

【例 2】
(1) 若函数 $ f(x) = \begin{cases} |2^{x} - 1|, x ＜ 2, \\ \frac{3}{x - 1}, x \geq 2, \end{cases} $ 则函数 $ g(x) = f(x) - 1 $ 的零点个数为(A)
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$
 (2) 方程 $ 3^{x} + \log_{2}x = 0 $ 在区间 $[\frac{1}{4}, 1]$ 上的实数根的个数为1。
【思路探索】
(1) 在第(1)小题中，函数 $ f(x) $ 是分段函数，应如何求解？
(2) 在第(2)小题中，无法直接解方程，如何判断方程根的个数？

答案：
(1)A
@@
(2)1
思路探索】
(1)提示：分段求解.
(2)提示：转化为判断两个函数的图象交点的个数，或转化为判断函数零点的问题.