《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例3】
如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，$\triangle APB$的面积为y。

（1）求y关于x的函数解析式$y = f(x)$；
（2）作出$y = f(x)$的图象。

答案：
(1)
当$0\leq x\leqslant4$时，$P$在$BC$上，$y = \frac{1}{2}× AB× BP=\frac{1}{2}×4× x = 2x$；
当$4\lt x\leqslant8$时，$P$在$CD$上，$y=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×4×4 = 8$；
当$8\lt x\leqslant12$时，$P$在$DA$上，$y=\frac{1}{2}× AB×(12 - x)=24 - 2x$。
所以$y = f(x)=\begin{cases}2x, &0\leqslant x\leqslant4\\8, &4\lt x\leqslant8\\24 - 2x, &8\lt x\leqslant12\end{cases}$
(2)
$y = f(x)$的图象：
当$0\leqslant x\leqslant4$时，$y = 2x$是一条线段，端点为$(0,0)$，$(4,8)$；
当$4\lt x\leqslant8$时，$y = 8$是一条水平线段，端点为$(4,8)$，$(8,8)$；
当$8\lt x\leqslant12$时，$y=24 - 2x$是一条线段，端点为$(8,8)$，$(12,0)$。

5. 某市出租车的计价标准：4 km及以内10元，超过4 km且不超过18 km的部分1.2元/km，超过18 km的部分1.8元/km。
（1）不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数解析式；
（2）若某人乘车行驶了20 km，则他要付多少车费？

答案： 5.解：
(1)设车费为$y$元，行车里程为$x$km.
根据题意，得$y=\begin{cases}10,0 ＜ x\leq4, \\ 1.2x + 5.2,4 ＜ x\leq18, \\ 1.8x - 5.6,x ＞ 18.\end{cases}$
(2)当$x = 20$时，$y = 1.8×20 - 5.6 = 30.4$，
即当乘车$20$km时，要付车费$30.4$元.