《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 若集合 $ M = \{ x | x = 4n + 1,n \in \mathbf{Z} \} $，$ N = \{ x | x = 2n + 1,n \in \mathbf{Z} \} $，则(A)

A.$ M \subsetneqq N $
B.$ N \subsetneqq M $
C.$ M \in N $
D.$ N \in M $

答案： 1.A

2. 已知集合 $ A = \{ -1,0,1 \} $，$ B = \{ x | x ＞ a \} $，若 $ A \subseteq B $，则实数 $ a $ 的取值可以为(A)

A.$ -2 $
B.$ -1 $
C.1
D.2

答案： 2.A

3. 若集合 $ P = \{ y | y = x^2 + 1 \} $，$ M = \{ x | y = x^2 + 1 \} $，则集合 $ M $ 与集合 $ P $ 的关系是(D)

A.$ M = P $
B.$ P \in M $
C.$ M \subsetneqq P $
D.$ P \subsetneqq M $

答案： 3.D

4. 若 $ \varnothing \subsetneqq \{ x | x^2 - x + a = 0 \} $，则实数 $ a $ 的取值范围是(B)

A.$ a ＜ \frac{1}{4} $
B.$ a \leq \frac{1}{4} $
C.$ a \geq \frac{1}{4} $
D.$ a ＞ \frac{1}{4} $

答案： 4.B

5. 集合 $ M = \{ x \in \mathbf{N} | -2 \leq x \leq 0 \} $ 的子集的个数为2。

答案： 5.2

6. 已知集合 $ A = \{ x | x ＜ 2,x \in \mathbf{N} \} $，$ B = \{ x | -2 ＜ x ＜ 2 $，且 $ x \in \mathbf{Z} \} $。
（1）写出集合 $ A $ 的子集；
（2）写出集合 $ B $ 的真子集。

答案： 6.解：$A = \{x \mid x ＜ 2, x \in \mathbf{N}\} = \{0,1\}$，
$B = \{x \mid -2 ＜ x ＜ 2$，且$x \in \mathbf{Z}\} = \{-1,0,1\}$.
(1)集合 A 的子集为$\varnothing$，$\{0\}$，$\{1\}$，$\{0,1\}$.
(2)集合 B 的真子集为$\varnothing$，$\{-1\}$，$\{0\}$，
$\{1\}$，$\{0,1\}$，$\{-1,0\}$，$\{-1,1\}$.

7. 设 $ A = \{ x | 2 \leq x \leq 4 \} $，$ B = \{ x | 2a \leq x \leq a + 3 \} $，若 $ B \subsetneqq A $，则实数 $ a $ 的取值范围是(D)

A.$ 1 \leq a \leq 3 $
B.$ a ＞ 3 $ 或 $ a = 1 $
C.$ a = 1 $
D.$ a ＞ 3 $

答案： 7.D

8. 已知集合 $ A = \{ x | x = a + \frac{1}{6},a \in \mathbf{Z} \} $，$ B = \{ x | x = \frac{b}{2} - \frac{1}{3},b \in \mathbf{Z} \} $，$ C = \{ x | x = \frac{c}{2} + \frac{1}{6},c \in \mathbf{Z} \} $，则 $ A,B,C $ 满足的关系为(B)

A.$ A = B \subseteq C $
B.$ A \subseteq B = C $
C.$ A \subseteq B \subsetneqq C $
D.$ B \subseteq C \subseteq A $

答案： 8.B

9. 设集合 $ A = \{ x,y \} $，$ B = \{ 0,x^2 \} $，若 $ A = B $，则 $ 2x + y = $2。

答案： 9.2

10. 若集合 $ A = \{ x | x = \frac{1}{9}(2k + 1),k \in \mathbf{Z} \} $，$ B = \{ x | x = \frac{4}{9}k \pm \frac{1}{9},k \in \mathbf{Z} \} $，则集合 $ A,B $ 之间的关系为A=B。

答案： 10.A=B

11. 已知 $ A = \{ x | -2 \leq x \leq 5 \} $，$ B = \{ x | a + 1 \leq x \leq 2a - 1 \} $。
（1）若 $ A \supseteq B $，求实数 $ a $ 的取值范围。
（2）是否存在实数 $ a $ 使得 $ A = B $？若存在，求出 $ a $ 的值；若不存在，说明理由。

答案： 11.解：
(1)①当$B = \varnothing$时，满足题意，此时有$a + 1 ＞ 2a - 1$，解得$a ＜ 2$；
②当$B \neq \varnothing$时，则有$\begin{cases}a + 1 \leq 2a - 1,\\a + 1 \geq -2,\\2a - 1 \leq 5,\end{cases}$
解得$2 \leq a \leq 3$.
综合①②，得$a$的取值范围为$a \leq 3$.
(2)若存在实数$a$使得$A = B$，
则$\begin{cases}a + 1 = -2,\\2a - 1 = 5,\end{cases}$即$\begin{cases}a = -3,\\a = 3,\end{cases}$无解，
故不存在这样的实数$a$使得$A = B$.

12. 多选题已知集合 $ A = \{ 1,2 \} $，$ B = \{ 0,1,2,3,4 \} $，集合 $ C $ 满足 $ A \subsetneqq C \subseteq B $，则(AC)

A.$ 1 \in C,2 \in C $
B.集合 $ C $ 可以为 $ \{ 1,2 \} $
C.集合 $ C $ 的个数为 7
D.集合 $ C $ 的个数为 8

答案： 12.AC

13. 新定义题若 $ x \in A $，则 $ \frac{1}{x} \in A $，就称 $ A $ 是伙伴关系集合，集合 $ M = \{ -1,0,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,2,3,4 \} $ 的所有非空子集中，是伙伴关系集合的个数为(A)

A.15
B.16
C.$ 2^8 $
D.$ 2^5 $

答案： 13.A