《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

5. 拔高练 若$\sin \beta = \frac{1}{3}$，$\cos(\alpha + \beta) = -1$，则$\sin(\alpha + 2\beta)$的值为(D)

A.1
B.$-1$
C.$\frac{1}{3}$
D.$-\frac{1}{3}$

答案： 5.D

【例3】化简：$\frac{\sqrt{1 + 2\sin 280^{\circ}\cos 440^{\circ}}}{\sin 260^{\circ} + \cos 800^{\circ}}$。

答案： 【解题模型示范】
读→式子中含有根号、非特殊角。
想→这几个三角函数均可转化为与$80^{\circ}$有关的三角函数。
算→
$\begin{aligned}原式&=\frac{\sqrt{1 + 2\sin(360^{\circ} - 80^{\circ})\cos(360^{\circ} + 80^{\circ})}}{\sin(180^{\circ} + 80^{\circ}) + \cos(720^{\circ} + 80^{\circ})}\\&=\frac{\sqrt{1 - 2\sin 80^{\circ}\cos 80^{\circ}}}{-\sin 80^{\circ} + \cos 80^{\circ}}\\&=\frac{\sqrt{\sin^2 80^{\circ} + \cos^2 80^{\circ} - 2\sin 80^{\circ}\cos 80^{\circ}}}{-\sin 80^{\circ} + \cos 80^{\circ}}\\&=\frac{\sqrt{(\sin 80^{\circ} - \cos 80^{\circ})^2}}{-\sin 80^{\circ} + \cos 80^{\circ}}\\&=\frac{\sin 80^{\circ} - \cos 80^{\circ}}{\cos 80^{\circ} - \sin 80^{\circ}} = -1\end{aligned}$
思→
1. 思想方法：转化与化归。
2. 规律方法：三角函数式的化简方法。
（1）利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
（2）常用“切化弦”法，即式子中的正切函数通常化为正弦函数或余弦函数。
（3）注意“1”的变式应用，如$1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \tan \frac{\pi}{4}$。
 

6. 化简下列各式：
（1）$\frac{\cos(\pi + \alpha)\sin \alpha}{\sin(-\alpha - \pi)\cos(-\pi - \alpha)}$；
（2）$\frac{\cos 190^{\circ}\sin(-210^{\circ})}{\cos(-350^{\circ})\tan(-585^{\circ})}$。

答案： 6.解：
(1)原式$=\frac{-\cos\alpha\sin\alpha}{-\sin(\pi+\alpha)\cos(\pi+\alpha)}$
$=\frac{\cos\alpha\sin\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=1.$
(2)原式
$=\frac{\cos(180^{\circ}+10^{\circ})[-\sin(180^{\circ}+30^{\circ})]}{\cos(-360^{\circ}+10^{\circ})[-\tan(360^{\circ}+225^{\circ})]}$
$=\frac{-\cos10^{\circ}\cdot\sin30^{\circ}}{\cos10^{\circ}\cdot[-\tan(180^{\circ}+45^{\circ})]}$
$=\frac{-\sin30^{\circ}}{-\tan45^{\circ}}=\frac{1}{2}.$

1. $\tan 690^{\circ}$的值为(A)

A.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\sqrt{3}$
D.$-\sqrt{3}$

答案： 1.A

2. 若$\sin(\pi + \alpha) = \frac{3}{5}$，$\alpha$为第三象限角，则$\cos(\pi - \alpha) = $(C)

A.$\frac{3}{5}$
B.$-\frac{3}{5}$
C.$\frac{4}{5}$
D.$-\frac{4}{5}$

答案： 2.C

3. 若$\sin(\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\sin(\frac{5\pi}{4} - \alpha)$的值为(C)

A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 3.C

4. 已知$n$为整数，化简$\frac{\sin(n\pi + \alpha)}{\cos(n\pi + \alpha)}$所得的结果是(C)

A.$\tan(n\alpha)$
B.$-\tan(n\alpha)$
C.$\tan \alpha$
D.$-\tan \alpha$

答案： 4.C