《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

一、函数的零点及函数的零点与方程的解、函数的图象的关系
情境：
(1) 一元二次方程 $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $ 有两个不相等的实根 $ x_{1} = 1 $，$ x_{2} = 3 $。
二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 有两个零点 $ 1 $ 和 $ 3 $。
二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 3 $ 的图象与 $ x $ 轴有两个公共点 $ (1, 0) $ 和 $ (3, 0) $。
(2) 一元二次方程 $ x^{2} - 4x + 4 = 0 $ 有两个相等的实根 $ x_{1} = x_{2} = 2 $。
二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 4 $ 有一个零点 $ 2 $。
二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 4 $ 的图象与 $ x $ 轴有一个公共点 $ (2, 0) $。
(3) 一元二次方程 $ x^{2} - 4x + 5 = 0 $ 没有实根。
二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 5 $ 没有零点。
二次函数 $ y = x^{2} - 4x + 5 $ 的图象与 $ x $ 轴没有公共点。
【思考】
(1) 对于一般函数 $ y = f(x) $，其零点如何定义？
(2) 根据函数图象与 $ x $ 轴的交点能求出方程的根或函数的零点吗？
(3) 函数的零点是一个点吗？

答案：
(1)提示:使 $f(x) = 0$ 的实数 $x$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的零点.
(2)提示:能.
(3)提示:函数的零点不是一个点，而是一个实数.

二、函数零点存在定理
情境：

【思考】
(1) 若函数 $ f(x) $ 满足 $ f(a)f(b) ＞ 0 $ 或 $ f(a)f(b) ＜ 0 $，则函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上一定有零点吗？
(2) 若函数 $ y = f(x) $ 的图象是一条连续不断的曲线，且有 $ f(a)f(b) ＜ 0 $，则函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ (a, b) $ 上有零点吗？
(3) 增加什么条件，函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ (a, b) $ 上只有一个零点？

答案：
(1)提示:不一定.
(2)提示:有零点.
(3)提示:增加函数 $y = f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上是单调函数，则只有一个零点.