《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

3. 变式练 将本例第(2)小题的条件“关于 $ x $ 的方程 $ a x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0 $ 至少有一个负根”改为“关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 有一正根和一负根”，如何求解？

答案： 3.解：关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一正根和一负根的等价条件为$\begin{cases}\Delta = b^{2}-4ac＞0,\\x_1x_2 = \frac{c}{a}＜0,\end{cases}$即$ac＜0$.
所以关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$有一正根和一负根的充要条件是$ac＜0$.

4. 同类练 求关于 $ x $ 的方程 $ 3 x ^ { 2 } + 10 x + k = 0 $ 有两个不相等的负实数根的充要条件.

答案： 4.解：充要条件是$0＜k＜\frac{25}{3}$.

5. 拔高练 (1)“函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 的图象与 $ y $ 轴交于负半轴”的充要条件是c＜0；

答案： 5.
(1)$c＜0$
 

(2)关于 $ x $ 的方程 $ m ^ { 2 } x ^ { 2 } - ( m + 1 ) x + 2 = 0 $ 的所有实数根的和为 $ 2 $ 的充要条件是m=0.

答案：
(2)$m = 0$

1. “四边形是平行四边形”是“四边形是正方形”的 (B)

A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 1.B

2. 给出下列 $ 3 $ 个结论：
①“$ x ^ { 2 } ＞ 4 $”是“$ x ^ { 3 } ＜ - 8 $”的必要不充分条件；
②在 $ \triangle A B C $ 中，“$ A B ^ { 2 } + A C ^ { 2 } = B C ^ { 2 } $”是“$ \triangle A B C $ 为直角三角形”的充要条件；
③若 $ a $，$ b \in \mathbf { R } $，则“$ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \neq 0 $”是“$ a $，$ b $ 不全为 $ 0 $”的充要条件.
其中正确的是 (C)

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

答案： 2.C