《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

基本不等式的应用
填写下列表格并回答问题：


【思考】
(1) 当 $x + y$ 为定值时，$xy$ 有最大值还是最小值？最值等于什么？
 
(2) 当 $xy$ 为定值时，$x + y$ 有最大值还是最小值？最值等于什么？

答案： 表格填写
- 表一：
$x + y$：$1 + 9=10$，$2 + 8 = 10$，$3+7 = 10$，$4 + 6=10$，$5 + 5=10$，$6 + 4=10$，$7+3 = 10$，$8 + 2=10$，$9+1 = 10$。
$xy$：$1×9 = 9$，$2×8 = 16$，$3×7 = 21$，$4×6 = 24$，$5×5 = 25$，$6×4 = 24$，$7×3 = 21$，$8×2 = 16$，$9×1 = 9$。
表二：
$y$：因为$xy = 1$，$x=\frac{1}{5}$时，$y = 5$；$x=\frac{1}{4}$时，$y = 4$；$x=\frac{1}{3}$时，$y = 3$；$x=\frac{1}{2}$时，$y = 2$；$x = 1$时，$y = 1$；$x = 2$时，$y=\frac{1}{2}$；$x = 3$时，$y=\frac{1}{3}$；$x = 4$时，$y=\frac{1}{4}$；$x = 5$时，$y=\frac{1}{5}$。
$x + y$：$\frac{1}{5}+5=\frac{1 + 25}{5}=\frac{26}{5}$，$\frac{1}{4}+4=\frac{1+16}{4}=\frac{17}{4}$，$\frac{1}{3}+3=\frac{1 + 9}{3}=\frac{10}{3}$，$\frac{1}{2}+2=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$，$1 + 1=2$，$2+\frac{1}{2}=\frac{4 + 1}{2}=\frac{5}{2}$，$3+\frac{1}{3}=\frac{9+1}{3}=\frac{10}{3}$，$4+\frac{1}{4}=\frac{16 + 1}{4}=\frac{17}{4}$，$5+\frac{1}{5}=\frac{25+1}{5}=\frac{26}{5}$。
思考
(1) 解：根据基本不等式$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$（$a\gt0$，$b\gt0$，当且仅当$a = b$时等号成立），变形可得$ab\leqslant(\frac{a + b}{2})^2$。
当$x + y$（设$x + y = S$，$S$为定值，$x\gt0$，$y\gt0$）为定值时，$xy\leqslant(\frac{x + y}{2})^2=\frac{S^2}{4}$，所以$xy$有最大值，最大值为$(\frac{x + y}{2})^2$（当且仅当$x = y$时取得最大值）。
(2) 解：由基本不等式$a + b\geqslant2\sqrt{ab}$（$a\gt0$，$b\gt0$，当且仅当$a = b$时等号成立），当$xy$（设$xy = P$，$P$为定值，$x\gt0$，$y\gt0$）为定值时，$x + y\geqslant2\sqrt{xy}=2\sqrt{P}$，所以$x + y$有最小值，最小值为$2\sqrt{xy}$（当且仅当$x = y$时取得最小值）。
综上，表一$x + y$均为$\boldsymbol{10}$，$xy$依次为$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{16}$，$\boldsymbol{21}$，$\boldsymbol{24}$，$\boldsymbol{25}$，$\boldsymbol{24}$，$\boldsymbol{21}$，$\boldsymbol{16}$，$\boldsymbol{9}$；表二$y$依次为$\boldsymbol{5}$，$\boldsymbol{4}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{5}}$，$x + y$依次为$\boldsymbol{\frac{26}{5}}$，$\boldsymbol{\frac{17}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$，$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$，$\boldsymbol{2}$，$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{10}{3}}$，$\boldsymbol{\frac{17}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{26}{5}}$；
(1) $xy$有最大值，最大值为$\boldsymbol{(\frac{x + y}{2})^2}$；
(2) $x + y$有最小值，最小值为$\boldsymbol{2\sqrt{xy}}$。

【例1】
(1) 若正数 $a$，$b$ 满足 $3a + 4b = ab$，则 $a + b$ 的最小值为(C)
A.$6 + 2\sqrt{3}$
B.$7 + 2\sqrt{3}$
C.$7 + 4\sqrt{3}$
D.$7 - 4\sqrt{3}$

答案：
(1)C

 (2) 多选择题 下列命题中正确的是(CD)

A.任意非零实数 $a$，$b$，都有 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2$
B.当 $x ＞ 1$ 时，$x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值是 2
C.当 $0 ＜ x ＜ 10$ 时，$\sqrt{x(10 - x)}$ 的最大值是 5
D.若正数 $x$，$y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 3$，则 $2x + y$ 的最小值为 3

答案：
(2)CD