《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

  一、分数指数幂
情境：给出以下式子。
$\begin{aligned}\sqrt[5]{a^{10}} &= \sqrt[5]{(a^{2})^{5}} = a^{2} = a^{\frac{10}{5}} (a ＞ 0)\\\sqrt[4]{a^{12}} &= \sqrt[4]{(a^{3})^{4}} = a^{3} = a^{\frac{12}{4}} (a ＞ 0)\\\sqrt{a^{10}} &= \sqrt{(a^{5})^{2}} = a^{5} = a^{\frac{10}{2}} (a ＞ 0)\end{aligned}$
【思考】
（1）通过观察，你能总结出什么规律？
（2）根据以上规律你能表示下列式子吗？
$\sqrt[4]{5^{3}}, \sqrt[3]{7^{5}}, \sqrt[5]{a^{7}} (a ＞ 0), \sqrt[n]{a^{m}} (a ＞ 0, m, n \in \mathbf{N}^{*}, n ＞ 1)$
（3）分数指数幂和根式有怎样的关系？
（4）分数指数幂的定义中，为什么规定 $ a ＞ 0 $？

答案： （1）提示：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式.
（2）提示：$\sqrt[4]{5^{3}} = 5^{\frac{3}{4}}$,$\sqrt[3]{7^{5}} = 7^{\frac{5}{3}}$,$\sqrt[n]{a^{7}} = a^{\frac{7}{n}}(a ＞ 0)$,$\sqrt[n]{a^{m}} = a^{\frac{m}{n}}(a ＞ 0,m,n \in \mathbf{N}^{*},n ＞ 1)$.
（3）提示：分数指数幂是根式的另一种写法.
（4）提示：当$a \leqslant 0$时，$a^{\frac{m}{n}}$可能没有意义，如$( - 1)^{\frac{1}{2}}$就没有意义，为了保证在$\frac{m}{n}$取任何有理数时，$a^{\frac{m}{n}}$都有意义，所以规定$a ＞ 0$.

二、有理数指数幂的运算性质
【思考】
有理数指数幂有哪些运算性质？

答案： 提示：①$a^{r}a^{s} = a^{r + s}(a ＞ 0,r,s \in \mathbf{Q})$;
②$(a^{r})^{s} = a^{rs}(a ＞ 0,r,s \in \mathbf{Q})$;
③$(ab)^{r} = a^{r}b^{r}(a ＞ 0,b ＞ 0,r \in \mathbf{Q})$.

三、无理数指数幂及其运算性质
【思考】
（1）怎样由有理数指数幂拓展到实数？
（2）整数指数幂的运算性质适用于实数指数幂吗？

答案： （1）提示：一般地，无理数指数幂$a^{\alpha}(a ＞ 0$，$\alpha$为无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂$a^{x}(a ＞ 0)$中指数$x$的取值范围从整数逐步拓展到了实数.实数指数幂是一个确定的实数.
（2）提示：适用.

【例1】(1)将分数指数幂 $ a^{-\frac{3}{4}} $ 化为根式为$\frac{1}{\sqrt[4]{a^{3}}}$。

答案： （1）$\frac{1}{\sqrt[4]{a^{3}}}$

 （2）用分数指数幂的形式表示下列各式。
$\begin{aligned}&① \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[4]{a}；\\&② \sqrt{a^{3}\sqrt{a}}；\\&③ (\sqrt[3]{a})^{2} \cdot \sqrt{ab^{3}}\end{aligned}$

答案： （2）①$a^{\frac{7}{12}}$. ②$a^{\frac{7}{4}}$. ③$a^{\frac{5}{6}}b^{\frac{3}{2}}$.