《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 1】利用“五点法”作出函数 $ y = 1 - \sin x $（$ x \in [0, 2\pi] $）的简图。

答案：
解:取值列表:
　　　　x　　$\frac{\pi}{2}$　π　$\frac{3\pi}{2}$　2π
　　　sinx　0　1　0　−1　0
　　　1−sinx　1　0　1　2　1
描点连线，如图所示.
　　　　

1. 利用“五点法”作出函数 $ y = -1 - \cos x $（$ x \in [0, 2\pi] $）的简图。

答案：
1.解:取值列表:
　　　　x　　$\frac{\pi}{2}$　π　$\frac{3\pi}{2}$　2π
　　　　cosx　1　0　−1　0　1
　　　−1−cosx　−2　−1　0　−1　−2
　描点连线，如图所示.
　　　　　

【例 2】写出不等式 $ \sin x \geq \frac{1}{2} $ 的解集。

答案：
解:在同一平面直角坐标系中,作函数$y = \sin x(x\in[0,2\pi])$的图象以及直线$y = \frac{1}{2}$，如图所示.
　　　
由图象知，$\sin\frac{\pi}{6}=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$.
所以当$0\leq x\leq2\pi$时，$\sin x\geq\frac{1}{2}$的解为$\frac{\pi}{6}\leq x\leq\frac{5\pi}{6}$，
所以不等式$\sin x\geq\frac{1}{2}$的解集为$\{x\mid 2k\pi + \frac{\pi}{6}\leq x\leq2k\pi + \frac{5\pi}{6},k\in\mathbf{Z}\}$.

2. 变式练 把本例中的 $ \frac{1}{2} $ 改为 $ \frac{\sqrt{2}}{2} $，求其解集。

答案： 2.解:根据正弦函数的图象及直线$y = \frac{\sqrt{2}}{2}$(图略)可得，当$2k\pi+\frac{\pi}{4}\leq x\leq2k\pi+\frac{3\pi}{4}$，$k\in\mathbf{Z}$时，$\sin x\geq\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以不等式$\sin x\geq\frac{\sqrt{2}}{2}$的解集为$\{x\mid 2k\pi+\frac{\pi}{4}\leq x\leq2k\pi+\frac{3\pi}{4},k\in\mathbf{Z}\}$.

3. 同类练 解不等式 $ \cos x ＜ 0 $，$ x \in [0, 2\pi] $。

答案： 3.解:由函数$y = \cos x$的图象(图略)可知,不等式$\cos x＜0,x\in[0,2\pi]$的解集为$(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2})$.

4. 拔高练 函数 $ y = \sqrt{2\cos x + 1} $ 的定义域是$[2k\pi-\frac{2\pi}{3},2k\pi+\frac{2\pi}{3}],k\in\mathbf{Z}$。

答案： 4.$[2k\pi-\frac{2\pi}{3},2k\pi+\frac{2\pi}{3}],k\in\mathbf{Z}$

【例 3】判断方程 $ \frac{x}{4} - \cos x = 0 $ 根的个数。

答案： $3$