《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1.某电子产品的利润 y(单位：元)与产量 x(单位：件)的函数解析式为 y = -3x² + 120x，要使利润获得最大值，则产量应为(B)

A.10 件
B.20 件
C.25 件
D.30 件

答案： 1.B

2.一个矩形的周长是 40，则矩形的一边长 y 和与其相邻的一边长 x 的函数解析式为(A)

A.y = 20 - x(0 ＜ x ＜ 20)
B.y = 20 - 2x(0 ＜ x ＜ 20)
C.y = 40 - x(0 ＜ x ＜ 10)
D.y = 40 - 2x(0 ＜ x ＜ 20)

答案： 2.A

3.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：
y = $\begin{cases}4x, & 1 \leq x ＜ 10, x \in \mathbf{N}^* \\ 2x + 10, & 10 \leq x ＜ 100, x \in \mathbf{N}^* \\ 1.5x, & x \geq 100, x \in \mathbf{N}^*\end{cases}$
其中 x 代表拟录用人数，y 代表面试人数，若应聘的面试人数为 60，则该公司拟录用人数为(C)

A.15
B.40
C.25
D.130

答案： 3.C

4.某机床总成本 y(单位：万元)与产量 x(单位：台)之间的函数关系为 y = x² - 75x，若每台机器售价为 25 万元，则该厂获利润最大时应生产机器数量为50台.

答案： 4.50

5.通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间：讲授开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明，用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大，表示学生的接受能力越强)，x 表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下公式：
f(x) = $\begin{cases}-0.1x^2 + 2.6x + 43, & 0 ＜ x \leq 10 \\ 59, & 10 ＜ x \leq 16 \\ -3x + 107, & 16 ＜ x \leq 30\end{cases}$
(1)讲课开始后 5 min 和讲课开始后 20 min 比较，何时学生的接受能力强一些？
(2)讲课开始后多少分钟时，学生的接受能力最强？能维持多久？
(3)一道数学难题需要讲授 13 min，并且要求学生的接受能力至少达到 55，那么老师能否在学生一直处于所需接受能力的状态下讲授完这道题目？请说明理由.

答案： 5.解：
(1)f
(5) = -0.1 × 5² + 2.6 × 5 + 43 = 53.5，f
(20) = -3 × 20 + 107 = 47，47 ＜ 53.5，所以讲课开始后 5 min 学生的接受能力强一些.
(2)当 0 ＜ x ≤ 10 时，f(x) = -0.1x² + 2.6x + 43 = -0.1(x - 13)² + 59.9，f(x)在 0 ＜ x ≤ 10 时单调递增，最大值为 f
(10) = -0.1 × (10 - 13)² + 59.9 = 59.
当 10 ＜ x ≤ 16 时，f(x) = 59；当 16 ＜ x ≤ 30 时，函数 f(x) 为减函数，且 f(x) ＜ 59.
所以讲课开始后 10 min 时，学生的接受能力最强，能维持 6 min.
(3)当 0 ＜ x ≤ 10 时，令 f(x) = 55，则 x = 6.
当 16 ＜ x ≤ 30 时，令 f(x) = 55，则$ x = 17\frac{1}{3}.$
因为$ 17\frac{1}{3} - 6 = 11\frac{1}{3} ＜ 13，$所以老师不能在学生一直处于所需接受能力的状态下讲授完这道题目.

6.某工厂生产某产品 x 吨所需费用为 P 元.而卖出 x 吨的价格为 Q 元每吨，已知 P = 1 000 + 5x + $\frac{1}{10}x^2$，Q = a + $\frac{x}{b}$，若生产出的产品能全部卖出，且当产量为 150 吨时利润最大，此时每吨的价格为 40 元，则有(A)

A.a = 45，b = -30
B.a = 30，b = -45
C.a = -30，b = 45
D.a = -45，b = -30

答案： 6.A

7.将进货单价为 8 元的商品按 10 元一个销售，每天可卖出 100 个.若销售单价每上涨 1 元，则日销售量减少 10 个.为获得最大利润，则此商品日销售单价应定为14元.

答案： 7.14

8.某民营企业生产 A，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资的函数模型为 y₁ = k₁x，B 产品的利润与投资的函数模型为 y₂ = k₂x^a(利润和投资的单位为百万元)，其关系分别如图①和图②所示.

(1)分别求出 A，B 两种产品的利润与投资的函数解析式；
(2)该企业已筹集资金 1 千万元，并准备全部投入到 A，B 两种产品的生产中，问怎样分配这 1 千万元，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少？(精确到万元)

答案： 8.解：
(1)A 产品：$y = \frac{1}{2}x(x ≥ 0)，$B 产品：$y = \frac{5}{4}\sqrt{x}(x ≥ 0).$
(2)投资 A 产品 844 万元，投资 B 产品 156 万元时，总利润最大，约为 578 万元.