《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 2】（1）不等式 $ \log_{\frac{1}{3}}(5 + x) ＜ \log_{\frac{1}{3}}(1 - x) $ 的解集为$(-2,1)$ 。

答案： （1）$(-2,1)$

 （2）若 $ \log_{a}\frac{3}{4} ＜ 1 $，则 $ a $ 的取值范围是$(0,\frac{3}{4})\cup(1,+\infty)$ 。

答案： （2）$(0,\frac{3}{4})\cup(1,+\infty)$

 （3）解不等式 $ \log_{a}(x - 1) \leq \log_{a}(6 - 2x) $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）。

答案： （3）解：①当$a\gt1$时，不等式等价$\begin{cases}x - 1\gt0,\\6 - 2x\gt0,\\x - 1\leq6 - 2x,\end{cases}$解得$1\lt x\leq\frac{7}{3}$；
②当$0\lt a\lt1$时，不等式等价于$\begin{cases}x - 1\gt0,\\6 - 2x\gt0,\\x - 1\geq6 - 2x,\end{cases}$解得$\frac{7}{3}\leq x\lt3$.
综上可得，当$a\gt1$时，不等式的解集为$(1,\frac{7}{3}]$；当$0\lt a\lt1$时，不等式的解集为$[\frac{7}{3},3)$.

3. 变式练 将本例第(1)小题中的不等式变为 $ \log_{0.7}(2x) ＜ 1 ＜ \log_{0.7}(x - 1) $，试求不等式的解集。

答案： 3.解：$(1,1.7)$.

4. 同类练 若 $ \log_{a}\frac{1}{2} ＞ 1 $，则 $ a $ 的取值范围是$(\frac{1}{2},1)$ 。

答案： 4.$(\frac{1}{2},1)$

5. 拔高练 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} \log_{2}x, & x ＞ 0 \\ \log_{\frac{1}{2}}(-x), & x ＜ 0 \end{cases} $ 若 $ f(a) ＞ f(-a) $，则实数 $ a $ 的取值范围是(A)

A.$ (-1, 0) \cup (1, +\infty) $
B.$ (-\infty, -1) \cup (0, 1) $
C.$ (-1, 0) \cup (0, 1) $
D.$ (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $

答案： 5.A

【例 3】(1)如果函数 $ y = a^{-x} $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)是单调递减函数，那么函数 $ f(x) = \log_{a}\frac{1}{x + 1} $ 的图象大致是(C)

 
 
 （2）已知函数 $ y = \log_{a}(x + 3) - 1 $（$ a ＞ 0 $，$ a \neq 1 $）的图象恒过定点 $ A $，若点 $ A $ 也在函数 $ f(x) = 3^{x} + b $ 的图象上，则 $ f(\log_{3}2) =$$\frac{8}{9}$ 。
 （3）如图所示，四条曲线分别是对数函数 $ y = \log_{a}x $，$ y = \log_{b}x $，$ y = \log_{c}x $，$ y = \log_{d}x $ 的图象，则 $ a $，$ b $，$ c $，$ d $ 及 $ 1 $ 的大小关系为$b\gt a\gt1\gt d\gt c$ 。

【思路探索】
（1）如何化简解析式 $ y = a^{-x} $ 和 $ f(x) = \log_{a}\frac{1}{x + 1} $？
（2）如何求函数 $ y = \log_{a}(x + 3) - 1 $ 的图象恒过的定点？
（3）对数函数的图象位置与底数大小有怎样的关系？

答案： （1）C
@@（2）$\frac{8}{9}$
@@（3）$b\gt a\gt1\gt d\gt c$
 
(1)提示：$y = a^{-x} = (\frac{1}{a})^{x}$，$f(x)=\log_{a}\frac{1}{x + 1}=-\log_{a}(x + 1)=\log_{\frac{1}{a}}(x + 1)$.
(2)提示：令$x + 3 = 1$，可得$x = - 2$，$y = - 1$，即图象恒过定点$(-2,-1)$.
(3)提示：在第一象限，图象越靠右，底数越大