《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 1】(1)下列各式中，正确的个数是(D)
① $ \varnothing = \{ 0 \} $；② $ \varnothing \subseteq \{ 0 \} $；③ $ \varnothing \in \{ 0 \} $；④ $ 0 = \{ 0 \} $；⑤ $ 0 \in \{ 0 \} $；⑥ $ \{ 1 \} \in \{ 1,2,3 \} $；⑦ $ \{ 1,2 \} \subseteq \{ 1,2,3 \} $；⑧ $ \{ a,b \} \subseteq \{ b,a \} $。

A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 1.D

 （2）已知集合 $ A = \{ a,b,2 \} $，$ B = \{ 2,b^2,2a \} $，若 $ A = B $，求实数 $ a,b $ 的值。

答案： 2.解：由$A = B$，
得$\begin{cases}a = 2a,\\b = b^{2},\end{cases}$①或$\begin{cases}a = b^{2},\\b = 2a.\end{cases}$②
解①，得$\begin{cases}a = 0,\\b = 0,\end{cases}$或$\begin{cases}a = 0,\\b = 1,\end{cases}$
解②，得$\begin{cases}a = 0,\\b = 0\end{cases}$或$\begin{cases}a = \frac{1}{4},\\b = \frac{1}{2}.\end{cases}$
由集合中元素的互异性，得$\begin{cases}a = \frac{1}{4},\\b = 1\end{cases}$
或$\begin{cases}a = \frac{1}{4},\\b = \frac{1}{2}.\end{cases}$

1. 若集合 $ A = \{ x | x ＞ 1 \} $，则下列关系中正确的是(C)

A.$ 0 \subseteq A $
B.$ \{ 0 \} \subseteq A $
C.$ \varnothing \subseteq A $
D.$ \{ 0 \} \in A $

答案： 1.C

2. 多选题已知集合 $ A = \{ y | y = \sqrt{2}x + 1,x \in \mathbf{Z} \} $，$ B = \{ y | y = 2\sqrt{2}x + 1,x \in \mathbf{Z} \} $，则(AD)

A.$ -\sqrt{2} + 1 \in A $
B.$ B \subsetneqq A $
C.$ A \subseteq B $
D.$ B \subseteq A $

答案： 2.AD

【例 2】(1)已知 $ A = \{ 1,4,x \} $，$ B = \{ 1,x^2 \} $，若 $ B \subseteq A $，则 $ x $ 的值为(B)
A.$ \pm 2 $
B.$ \pm 2 $ 或 0
C.$ \pm 2 $ 或 1 或 0
D.$ \pm 2 $ 或 $ \pm 1 $ 或 0

答案： 1.B 

(2)满足 $ \{ 1 \} \subseteq A \subseteq \{ 1,2,3 \} $ 的集合 $ A $ 的个数是(C)
A.2
B.3
C.4
D.8

答案：
(2)
满足$\{1\} \subseteq A \subseteq \{1, 2, 3\}$的集合$A$有：$\{1\}$，$\{1, 2\}$，$\{1, 3\}$，$\{1, 2, 3\}$，共4个，答案选C。

3. 若集合 $ A = \{ -1,0,1 \} $，$ B = \{ a,a^2 \} $，则使 $ B \subseteq A $ 成立的 $ a $ 的值是(A)

A.$ -1 $
B.0
C.1
D.$ -1 $ 或 1

答案： 3.A

4. 若集合 $ A = \{ 1,2,3 \} $，则集合 $ A $ 的真子集的个数为7。

答案： 4.7

【例 3】已知集合 $ A = \{ x | a - 1 ＜ x ＜ 2a + 1 \} $，$ B = \{ x | 0 ＜ x ＜ 4 \} $。若 $ A \subseteq B $，求实数 $ a $ 的取值范围。

答案： 解：读已知集合 $ A,B,A \subseteq B $。
想 $ A $ 是 $ B $ 的子集，$ A $ 可能为空集。
算由 $ A \subseteq B $，知当 $ A = \varnothing $ 时满足题意，所以 $ a - 1 \geq 2a + 1 $，解得 $ a \leq -2 $。
当 $ A \neq \varnothing $ 时，要使 $ A \subseteq B $，则 $ \begin{cases} a - 1 ＜ 2a + 1 \\ a - 1 \geq 0 \\ 2a + 1 \leq 4 \end{cases} $，解得 $ 1 \leq a \leq \frac{3}{2} $。
综上可知，当 $ A \subseteq B $ 时，实数 $ a $ 的取值范围是 $ a \leq -2 $ 或 $ 1 \leq a \leq \frac{3}{2} $。