《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

6. 若 $a ＞ 0$，$b ＞ 0$，且 $2a + b = 2$，则使得 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 取得最小值的 $a$，$b$ 分别是(B)

A.2，2
B.$\frac{1}{2}$，1
C.$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{2}$
D.$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$

答案： 6.B

7. 若正实数 $x$，$y$ 满足 $\frac{1}{x} + \frac{4}{y} = 1$，且 $x + \frac{y}{4} ＞ a - 3$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为$a ＜ 7$。

答案： 7.$a ＜ 7$

8. (1) 已知 $x ＜ 3$，求 $f(x) = \frac{4}{x - 3} + x$ 的最大值；

答案： 8.解：
(1)$f(x)$的最大值为$-1$．
 

(2) 已知 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且 $x + y = 4$，求 $\frac{1}{x} + \frac{3}{y}$ 的最小值。

答案：
(2)$\frac{1}{x} + \frac{3}{y}$的最小值为$1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$．

9. 设 $a$，$b$ 为正实数，且 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2\sqrt{2}$。
(1) 求 $a^2 + b^2$ 的最小值；
(2) 若 $(a - b)^2 \geq 4(ab)^3$，求 $ab$ 的值。

答案： 9.解：
(1)$a^2 + b^2$的最小值是$1$．
(2)$ab$的值为$1$．

10. 某市准备建一个综合性休闲广场，其示意图如图所示。已知矩形广场的总面积为 $2000 m^2$，其中阴影部分为通道，通道的宽均为 $1 m$，中间的两个小矩形完全相同。

(1) 用矩形的宽 $x$（单位：m）表示中间的三个矩形的总面积 $S$（单位：$m^2$）的函数解析式，并给出定义域。
(2) 当矩形的宽 $x$ 为何值时，$S$ 取得最大值？并求出最大值。

答案： 10.解：
(1)因为矩形广场的总面积为
$2000m^2$，
所以$xy = 2000$，即$y = \frac{2000}{x}$．
因为$2a + 2 = y$，所以$2a = y - 2 = \frac{2000}{x} - 2$，
所以$S = a(x - 3) + a(x - 2) = (2x -5)(\frac{1000}{x} - 1) = 2005 - (\frac{5000}{x} + 2x)$，
$3 ＜ x ＜ 1000$．
(2)$S = 2005 - (\frac{5000}{x} + 2x) \leq 2005 -\sqrt{2}\sqrt{\frac{5000}{x} × 2x} = 1805$，
当且仅当$2x = \frac{5000}{x}$，即$x = 50$时，等
号成立，此时$S$取得最大值$1805m^2$．

11. 多选择题 一个矩形的周长为 $l$，面积为 $S$，其中可作为 $(l, S)$ 的取值的实数对是(AD)

A.(4, 1)
B.(8, 6)
C.(10, 8)
D.$(3, \frac{1}{2})$

答案： 11.AD

12. 多空题 某公司购买了一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润 $y$(单位：万元)与机器运转时间 $x$(单位：年)的关系为 $y = -x^2 + 18x - 25$($x \in N^*$)，则当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值是8万元。

答案： 12.5 8