《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

5. 已知函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 - 1} $。
（1）设 $ f(x) $ 的定义域为 $ A $，求集合 $ A $；
（2）判断函数 $ f(x) $ 在区间 $(1, +\infty)$ 上的单调性，并用定义加以证明。

答案： 5.解:
(1)由x²−1≠0,得x≠±1,所以函数f(x)=$\frac{1}{x^{2}-1}$的定义域为A={x|x∈R,且x≠±1}.
(2)函数f(x)=$\frac{1}{x^{2}-1}$在区间(1,+∞)上单调递减.
证明:任取x₁,x₂∈(1,+∞)，且x₁＜x₂，
f(x₂) - f(x₁)=$\frac{1}{x_{2}^{2}-1}-\frac{1}{x_{1}^{2}-1}=\frac{(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})}{(x_{1}^{2}-1)(x_{2}^{2}-1)}$
因为x₁＞1,x₂＞1，
所以x₁²−1＞0,x₂²−1＞0,x₁ + x₂＞0.
又因为x₁＜x₂，所以x₁ - x₂＜0，
故f(x₂) - f(x₁)＜0.
因此，函数f(x)=$\frac{1}{x^{2}-1}$在区间(1,+∞)上单调递减.

6. 若函数 $ y = f(x) $ 在 $\mathbf{R}$ 上为增函数，且 $ f(2m) ＞ f(-m + 9) $，则实数 $ m $ 的取值范围是(C)

A.$(-\infty, -3)$
B.$(0, +\infty)$
C.$(3, +\infty)$
D.$(-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$

答案： 6.C

7. 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} (a - 3)x + 5, & x \leq 1 \\ \frac{2a}{x}, & x ＞ 1 \end{cases} $ 是 $\mathbf{R}$ 上的减函数，则实数 $ a $ 的取值范围是(D)

A.$(0, 3)$
B.$(0, 3]$
C.$(0, 2)$
D.$(0, 2]$

答案： 7.D

8. 已知函数 $ f(x) $ 是区间 $(0, +\infty)$ 上的减函数，则 $ f(a^2 - a + 1) $ 与 $ f(\frac{3}{4}) $ 的大小关系是f(a²−a + 1)≤f($\frac{3}{4}$)。

答案： 8.f(a²−a + 1)≤f($\frac{3}{4}$)

9. 已知二次函数 $ f(x) = ax^2 + bx + 1 (a ＞ 0) $。
（1）若 $ f(-1) = 0 $，且对任意实数 $ x $ 均有 $ f(x) \geq 0 $，求函数 $ f(x) $ 的解析式；
（2）在（1）的条件下，当 $ x \in [-2, 2] $ 时，$ g(x) = f(x) - kx $ 是单调函数，求实数 $ k $ 的取值范围。

答案： 9.解:
(1)f(x)=x²+2x + 1.
(2){k|k≤ -2，或k≥6}.

10. 多选题 已知函数 $ f(x) = 8 + 2x - x^2 $，则下列结论不正确的是(ACD)

A.$ f(x) $ 在区间 $(-\infty, 1]$ 上是减函数
B.$ f(x) $ 在区间 $(-\infty, 1]$ 上是增函数
C.$ f(x) $ 在区间 $[-1, +\infty)$ 上是减函数
D.$ f(x) $ 在区间 $[-1, +\infty)$ 上是增函数

答案： 10.ACD