《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

2. 变式练 在本例第 (2) 小题中把周长改为 $ 40 cm $，如何求解？

答案： 2.解：设扇形的半径和弧长分别为$r$和$l$，
由题意可得，$2 r + l = 4 0$，
所以扇形的面积$S = \frac { 1 } { 2 } l r = - ( r - 1 0 ) ^ { 2 } +$
$1 0 0 \leqslant 1 0 0$.
所以当$r = 1 0 \mathrm { c m }$时，$S$取得最大值
$1 0 0 \mathrm { c m } ^ { 2 }$，
此时，$l = 2 0 \mathrm { c m }$，圆心角$\alpha = \frac { l } { r } = 2 \mathrm { r a d }$.
所以当半径长为$1 0 \mathrm { c m }$，圆心角为$2 \mathrm { r a d }$
时，扇形面积最大，最大面积是$1 0 0 \mathrm { c m } ^ { 2 }$.

3. 同类练 若扇形的弧长是 $ 8 $，其所在圆的直径是 $ 4 $，则扇形的面积是 ()

A.$ 8 $
B.$ 6 $
C.$ 4 $
D.$ 16 $

答案： 3.A

4. 拔高练 《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思是说现有一块扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积是多少？书中给出了一个计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘弧长再除以 $ 4 $. 那么在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是.

答案： 4.$\frac { 1 5 } { 4 }$

1. 将 $ -1485^{\circ} $ 化成 $ \alpha + 2k\pi (0 \leq \alpha ＜ 2\pi, k \in \mathbf{Z}) $ 的形式是 ()

A.$ -\frac{\pi}{4} - 8\pi $
B.$ \frac{7}{4}\pi - 8\pi $
C.$ \frac{\pi}{4} - 10\pi $
D.$ \frac{7}{4}\pi - 10\pi $

答案： 1.D

2. 角 $ -\frac{29}{12}\pi $ 的终边所在的象限是 ()

A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限

答案： 2.D

3. 下列各对角中，终边相同的是 ()

A.$ \frac{3\pi}{2} $ 和 $ 2k\pi - \frac{3\pi}{2} (k \in \mathbf{Z}) $
B.$ -\frac{\pi}{5} $ 和 $ \frac{22\pi}{5} $
C.$ -\frac{7\pi}{9} $ 和 $ \frac{11\pi}{9} $
D.$ \frac{20\pi}{3} $ 和 $ \frac{122\pi}{9} $

答案： 3.C

4. 周长为 $ 9 $，圆心角为 $ 1 rad $ 的扇形的面积为 ()

A.$ \frac{9}{2} $
B.$ \frac{9}{4} $
C.$ \pi $
D.$ 2 $

答案： 4.A

5. 在直径为 $ 20 cm $ 的圆中，若圆心角为 $ 165^{\circ} $，则该圆心角所对的弧长为$\frac { 5 5 \pi } { 6 }$$ cm $.

答案： 5.$\frac { 5 5 \pi } { 6 }$

6. 已知角 $ \alpha = 1200^{\circ} $.
(1) 将角 $ \alpha $ 改写成 $ \beta + 2k\pi (k \in \mathbf{Z}, 0 \leq \beta ＜ 2\pi) $ 的形式，并指出角 $ \alpha $ 是第几象限角；
(2) 在区间 $ [-4\pi, \pi] $ 上找出与角 $ \alpha $ 终边相同的角.

答案： 6.解：
(1)因为$\alpha = 1 2 0 0 ^ { \circ } = 1 2 0 0 × \frac { \pi } { 1 8 0 } \mathrm { r a d } =$
$\frac { 2 0 \pi } { 3 } \mathrm { r a d }$，且$\frac { 2 0 } { 3 } \pi = 3 × 2 \pi + \frac { 2 \pi } { 3 } , \frac { \pi } { 2 } ＜ \frac { 2 \pi } { 3 } ＜ \pi$，
所以角$\alpha$是第二象限角.
(2)在区间$[ - 4 \pi , \pi ]$上与角$\alpha$终边相同
的角是$- \frac { 1 0 \pi } { 3 } , - \frac { 4 \pi } { 3 } , \frac { 2 \pi } { 3 }$.