《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 不等式$(x - 2y)+\frac{1}{x - 2y}\geq2$成立的前提条件为()

A.$x\geq2y$
B.$x ＞ 2y$
C.$x\leq2y$
D.$x ＜ 2y$

答案： 1.B

2. 下列不等式一定成立的是()

A.$x+\frac{1}{x}\geq2(x\neq0)$
B.$x^{2}+\frac{1}{x^{2}+1}\geq1(x\in\mathbf{R})$
C.$x^{2}+1\leq2x(x\in\mathbf{R})$
D.$x^{2}+5x + 6\geq0(x\in\mathbf{R})$

答案： 2.B

3. 若$0 ＜ a ＜ 1,0 ＜ b ＜ 1$，且$a\neq b$，则$a + b,2\sqrt{ab},2ab,a^{2}+b^{2}$中最大的一个是()

A.$a^{2}+b^{2}$
B.$2\sqrt{ab}$
C.$2ab$
D.$a + b$

答案： 3.D

4. 若正数$a,b$满足$ab = a + b + 3$，则$ab$的取值范围是。

答案： 4.$ab \geqslant 9$

5. 若$x,y$为正数，则$(x + y)(\frac{1}{x}+\frac{4}{y})\geq$。

答案： 5.9

6. 已知$a,b,c$都是正数。求证：$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geq a + b + c$。

答案： 6.证明：因为$a,b,c$都是正数，所以$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b} \geqslant2\sqrt{\frac{bc}{a} \cdot \frac{ac}{b}}=2c,\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c} \geqslant 2\sqrt{\frac{ac}{b} \cdot \frac{ab}{c}}=2a,\frac{bc}{a}+\frac{ab}{c} \geqslant 2\sqrt{\frac{bc}{a} \cdot \frac{ab}{c}}=2b$，
三式相加，得$2(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}) \geqslant 2(a+b+c)$，
所以$\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c} \geqslant a+b+c$，
当且仅当$a=b=c$时，等号成立.

7. 若$0 ＜ a ＜ b$，则下列不等式中成立的是()

A.$a ＜ b ＜ \sqrt{ab} ＜ \frac{a + b}{2}$
B.$a ＜ \sqrt{ab} ＜ \frac{a + b}{2} ＜ b$
C.$a ＜ \sqrt{ab} ＜ b ＜ \frac{a + b}{2}$
D.$\sqrt{ab} ＜ a ＜ \frac{a + b}{2} ＜ b$

答案： 7.B

8. 若$0 ＜ a ＜ b$，且$a + b = 1$，则把$\frac{1}{2},a,b,2ab,a^{2}+b^{2}$按从小到大的顺序排列为。

答案： 8.$a＜2ab＜\frac{1}{2}＜a^2+b^2＜b$

9. 已知$a,b,c$为不全相等的正实数。求证：$a + b + c ＞ \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$。

答案： 9.证明：因为$a＞0,b＞0,c＞0$，
所以$a+b \geqslant 2\sqrt{ab}＞0,b+c \geqslant 2\sqrt{bc}＞0$，
$c+a \geqslant 2\sqrt{ca}＞0$.
所以$2(a+b+c) \geqslant 2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$，
即$a+b+c \geqslant \sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$.
因为$a,b,c$为不全相等的正实数，所以
等号不成立.
所以$a+b+c＞\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$.

10. 多选题 下列条件中，能使$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2$成立的条件是()

A.$ab ＞ 0$
B.$ab ＜ 0$
C.$a ＞ 0,b ＞ 0$
D.$a ＜ 0,b ＜ 0$

答案： 10.ACD