《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

3. 变式练 将本例第(1)小题中的函数变为“$ f(x) = x - 3 + \ln x $”，则如何判断函数 $ f(x) $ 的零点个数？

答案：
3.解:令 $f(x) = x - 3 + \ln x = 0$，则 $\ln x = -x + 3$.
在同一平面直角坐标系内作出函数 $y = \ln x$ 与 $y = -x + 3$ 的图象,如图所示.

由图可知函数 $y = \ln x$ 和 $y = -x + 3$ 的图象只有一个交点,即函数 $f(x) = x - 3 + \ln x$ 只有一个零点.

4. 同类练 函数 $ f(x) = 2^{x} + \log_{2}x - 3 $ 在区间 $ (1, 2) $ 上的零点个数是(B)

A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$

答案： 4.B

5. 拔高练 已知函数 $ f(x) = \begin{cases} (\frac{1}{2})^{x} + \frac{3}{4}, x ＞ 2, \\ \log_{2}x, 0 ＜ x \leq 2, \end{cases} $ 若方程 $ f(x) - k = 0 $ 仅有一根，则实数 $ k $ 的取值范围是\{k \mid k \leq \frac{3}{4}, 或 k = 1\}。

答案： 5.$\{k \mid k \leq \frac{3}{4}$, 或 $k = 1\}$

【例 3】
(1) 多选题 函数 $ f(x) = x\lg x + x^{2} - 4x + 1 $ 的零点所在区间为(AD)
A.$ (0, 1) $
B.$ (1, \frac{3}{2}) $
C.$ (2, 3) $
D.$ (3, 4) $
 (2) 若 $ x_{0} $ 是方程 $ (\frac{1}{2})^{x} = x^{\frac{1}{3}} $ 的解，则 $ x_{0} $ 属于区间(C)
A.$ (\frac{2}{3}, 1) $
B.$ (\frac{1}{2}, \frac{2}{3}) $
C.$ (\frac{1}{3}, \frac{1}{2}) $
D.$ (0, \frac{1}{3}) $
【思路探索】

答案：
(1)AD
@@
(2)C
(1)根据 $f(a)f(b) < 0$ 判断
(2)转化为函数的零点所在的区间