《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

一、子集、真子集及 Venn 图
观察下面的三个例子。
1. 集合 $ A = \{ 1,2,3 \} $，集合 $ B = \{ 1,2,3,4,5 \} $。
2. 集合 $ A $ 为新华中学高一(2)班全体学生组成的集合，集合 $ B $ 是新华中学高一全体学生组成的集合。
3. 集合 $ A = \{ x | x ＞ 3 \} $，集合 $ B = \{ x | x ＞ 2 \} $。
【思考】
(1)上述三个例子中，集合 $ A $ 中的元素与集合 $ B $ 中的元素有什么关系？集合 $ A $ 与集合 $ B $ 是什么关系？
(2)例子 1 中，集合 $ B $ 中的元素与集合 $ A $ 中的元素有什么不同？集合 $ A $ 与集合 $ B $ 是什么关系？
(3)符号“$ \in $”与“$ \subseteq $”各代表了什么关系？

答案： 【思考】
(1)提示：集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素.集合 A 是集合 B 的子集.
(2)提示：集合 B 中的元素 4,5 不是集合 A 中的元素.集合 A 是集合 B 的真子集.
(3)提示：符号“$\in$”代表了元素与集合的关系；符号“$\subseteq$”代表了集合与集合之间的关系.

二、集合相等及空集
观察下面的两个例子。
1. $ E = \{ x | x $ 是两条边相等的三角形 $ \} $，$ F = \{ x | x $ 是等腰三角形 $ \} $。
2. $ G = \{ x | x^2 + 1 = 0 \} $。
【思考】
(1)在例子 1 中，两集合 $ E,F $ 的元素有什么关系？集合 $ E $ 与集合 $ F $ 是什么关系？
(2)在例子 2 中，集合 $ G $ 有几个元素？像集合 $ G $ 这样的集合叫什么？
(3)任何集合都有子集和真子集吗？

答案： 【思考】
(1)提示：因为“两条边相等的三角形”是等腰三角形，所以集合 E,F 都是由等腰三角形组成的集合，所以集合 E 的元素与集合 F 的元素是一样的.集合 E 与集合 F 相等.
(2)提示：因为方程$x^{2}+1=0$没有实数根，所以集合 G 没有元素.像集合 G 这样的集合叫空集.
(3)提示：不是，空集只有子集，没有真子集.