《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例3】
某单位用木料制作的框架示意图如图所示，框架的下部是边长分别为 $x$，$y$（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形。要求框架围成的总面积为 $8 m^2$，则 $x$，$y$ 分别为多少时用料最省？

【思路探索】
(1) 如何表示等腰直角三角形的面积？
(2) 用料最省是指什么？

答案： 【思路探索】
(1) 如何表示等腰直角三角形的面积？
(2) 用料最省是指什么？ 【自主解答】 解：设等腰直角三角形的直角边长为$a$，则$a^2 + a^2 = x^2$，所以$a = \frac{\sqrt{2}}{2}x$．因为$xy + \frac{1}{4}x^2 = 8$，所以$y = \frac{8 - \frac{x^2}{4}}{x} = \frac{8}{x} - \frac{x}{4}$．由$8 - \frac{x^2}{4} ＞ 0$，得$0 ＜ x ＜ 4\sqrt{2}$．所以框架用料长度为$l = 2x + 2y + 2 ×(\frac{\sqrt{2}}{2}x) = (\frac{3}{2} + \sqrt{2})x + \frac{16}{x} \geq 4\sqrt{6} + 4\sqrt{2}$，当$(\frac{3}{2} + \sqrt{2})x = \frac{16}{x}$，即$x = 8 - 4\sqrt{2}$时，等号成立，此时$y = 2\sqrt{2}$．故当$x$为$(8 - 4\sqrt{2})m$，$y$为$2\sqrt{2}m$时，用料最省.

6. 做一个面积为 $1 m^2$，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的长度是($\sqrt{2} \approx 1.414$)(C)

A.4.6 m
B.4.8 m
C.5 m
D.5.2 m

答案： 6.C

1. 当 $x ＞ 0$ 时，$f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ 的最大值为(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.2
D.4

答案： 1.B

2. 若 $x ＞ 0$，则函数 $y = -x - \frac{1}{x}$(A)

A.有最大值 $-2$
B.有最小值 $-2$
C.有最大值 2
D.有最小值 2

答案： 2.A

3. 若 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，且 $x + 4y = 20$，则 $xy$ 的最大值是25。

答案： 3.25

4. 若实数 $x$，$y$ 满足 $xy = 1$，则 $x^2 + 2y^2$ 的最小值为$2\sqrt{2}$。

答案： 4.$2\sqrt{2}$

5. (1) 已知 $x ＞ 0$，$y ＞ 0$，$x + 2y = 8$，求 $xy$ 的最大值；

答案： 5.解：
(1)$xy$的最大值为$8$．
(2)最小值为$9$．

(2) 设 $x ＞ -1$，求函数 $y = x + \frac{4}{x + 1} + 6$ 的最小值。

答案：
(2)最小值为$9$．