《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 函数$y = f(x)(x\in[-4,7])$的图象如图所示，则它的最大值为3；最小值为-2.

答案： 1.3　−2

2. 作出函数$y = |x - 2|(x + 1)$的图象，说明函数的单调性，并判断是否存在最大值和最小值.

答案：
2.解:当x≥2,即x−2≥0时，
　y=(x−2)(x+1)=x²−x−2=(x−$\frac{1}{2}$)²−$\frac{9}{4}$;
　当x＜2,即x−2＜0时，
　y=−(x−2)(x+1)=−x²+x+2=−(x−$\frac{1}{2}$)²+$\frac{9}{4}$.
　所以y=$\begin{cases}(x-\frac{1}{2})²-\frac{9}{4},x≥2,\\-(x-\frac{1}{2})²+\frac{9}{4},x＜2.\end{cases}$
　作出该分段函数的图象，如图所示.
　　　　　
　由图象可知,函数y=|x−2|(x+1)在区间(−∞,$\frac{1}{2}$],[2,+∞)上单调递增;在区间($\frac{1}{2}$,2)上单调递减.
　该函数既不存在最大值，也不存在最小值.

【例2】
已知函数$f(x)=x+\dfrac{1}{x}$.
(1) 求证：$f(x)$在区间$(1,+\infty)$上是增函数；
(2) 求$f(x)$在区间$[2,4]$上的最值.

答案：
(1)证明见解析；
(2)最小值为$\frac{5}{2}$，最大值为$\frac{17}{4}$

3. 变式练 在本例条件不变的情况下，$f(x)$在$\left[\dfrac{1}{3},2\right]$上的最大值为$\frac{10}{3}$，最小值为2.

答案： 3.$\frac{10}{3}$　2

4. 同类练 函数$f(x)=2 - 3x$，当$x\in[-2,3]$时，$f(x)$的最小值为-7，最大值为8.

答案： 4.−7　8

5. 拔高练 已知函数$f(x)=\dfrac{x + 1}{2 - x}$，$x\in[3,5]$，则函数$f(x)$的最大值为，最小值为.

答案： 5.−2　−4

【例3】
某地要修建一个圆形的喷水池，水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下，以水池的中央为坐标原点，水平方向为$x$轴，竖直方向为$h$轴建立平面直角坐标系(如图所示). 那么水流喷出的高度$h$(单位：$m$)与水平距离$x$(单位：$m$)之间的函数解析式为$h=-x^2+2x+\dfrac{5}{4}$，$x\in\left[0,\dfrac{5}{2}\right]$. 求水流喷出的高度$h$的最大值.

答案： 解:$\frac{9}{4}$m.