《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 1】(1) 把 $ -157^{\circ}30' $ 化成弧度为$- \frac { 7 } { 8 } \pi$，$ -\frac{5\pi}{12} $ 化成度为.$- 7 5 ^ { \circ }$
(2) 在 $ [0, 4\pi] $ 中，与 $ 36^{\circ}$$\frac { \pi } { 5 } , \frac { 1 1 } { 5 } \pi$$$ 角终边相同的角有.(用弧度表示)

答案： 【例1】
(1)$- \frac { 7 } { 8 } \pi$ $- 7 5 ^ { \circ }$
(2)$\frac { \pi } { 5 } , \frac { 1 1 } { 5 } \pi$

1. 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：
(1) $ 72^{\circ} $； (2) $ -300^{\circ} $； (3) $ 2 $； (4) $ -\frac{2\pi}{9} $.

答案： 1.解：
(1)$7 2 ^ { \circ } = 7 2 × \frac { \pi } { 1 8 0 } \mathrm { r a d } = \frac { 2 \pi } { 5 } \mathrm { r a d }$.
(2)$- 3 0 0 ^ { \circ } = - 3 0 0 × \frac { \pi } { 1 8 0 } \mathrm { r a d } = - \frac { 5 \pi } { 3 } \mathrm { r a d }$.
(3)$2 = 2 × ( \frac { 1 8 0 } { \pi } ) ^ { \circ } \approx ( \frac { 3 6 0 } { \pi } ) ^ { \circ }$.
(4)$- \frac { 2 \pi } { 9 } = - \frac { 2 \pi } { 9 } × ( \frac { 1 8 0 } { \pi } ) ^ { \circ } = - 4 0 ^ { \circ }$.

【例 2】(1) 设扇形的周长为 $ 8 cm $，面积为 $ 4 cm^2 $，则扇形的圆心角的弧度数是 ()
A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $
 (2) 已知扇形的周长为 $ 8 cm $，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
【思路探索】

答案： 【例2】
(1)B解析：设扇形半径为$r$，弧长为$l$，由$\begin{cases} 2 r + l = 8 , \\ \frac { 1 } { 2 } l · r = 4 , \end{cases}$解得$\begin{cases} l = 4 , \\ r = 2 , \end{cases}$则圆心角$\alpha = \frac { l } { r } = 2 \mathrm { r a d }$.
@@【例2】
(2)解：设扇形的半径为$r$，弧长为$l$，面积为$S$，则$2 r + l = 8$，即$l = 8 - 2 r$，所以$S = \frac { 1 } { 2 } l r = \frac { 1 } { 2 } ( 8 - 2 r ) · r = - r ^ { 2 } + 4 r =$$- ( r - 2 ) ^ { 2 } + 4 ( 0 ＜ r ＜ 4 )$，所以当$r = 2 \mathrm { c m }$时，$S _ { \max } = 4 \mathrm { c m } ^ { 2 }$，此时$l =$$4 \mathrm { c m } , \alpha = 2 \mathrm { r a d }$.所以当半径长为$2 \mathrm { c m }$，圆心角为$2 \mathrm { r a d }$时，扇形的面积最大，最大面积是$4 \mathrm { c m } ^ { 2 }$.
思路探索】 ①扇形的周长等于什么 ②扇形的面积公式 ③角的弧度数的计算方法