《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 若 $0 ＜ x ＜ \frac{1}{4}$，则 $x(1 - 4x)$ 取最大值时 $x$ 的值是(C)

A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{8}$
D.$\frac{1}{10}$

答案： 1.C

2. 若对任意的正数 $a$，$b$ 满足 $a + 3b - 1 = 0$，则 $\frac{3}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值为(C)

A.6
B.8
C.12
D.24

答案： 2.C

【例2】
若当 $x ＞ 1$ 时，不等式 $x + \frac{1}{x - 1} \geq a$ 恒成立，则实数 $a$ 的最大值为3。

答案： 【解题模型示范】
读：已知 $x ＞ 1$，不等式恒成立，求实数 $a$ 的最大值。
想：由 $x ＞ 1$，得 $x - 1 ＞ 0$；$x$ 与分式 $\frac{1}{x - 1}$ 的分母相差 1，考虑变形后应用基本不等式。
算：由 $x + \frac{1}{x - 1} \geq a$ 恒成立，得 $x + \frac{1}{x - 1}$ 的最小值大于或等于 $a$。
因为 $x ＞ 1$，即 $x - 1 ＞ 0$，
所以 $x + \frac{1}{x - 1} = x - 1 + \frac{1}{x - 1} + 1 \geq 2\sqrt{(x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1}} + 1 = 3$，
当且仅当 $x - 1 = \frac{1}{x - 1}$，即 $x = 2$ 时，等号成立。
所以 $a \leq 3$，即 $a$ 的最大值为 3。
思：利用基本不等式求参数的值或取值范围的方法
(1) 若已知是不等式，则要先将参数分离出来，转化为和或积为常数的问题。
 
(2) 若已知是等式，则要利用基本不等式得出关于参数的不等式，从而求出参数的值或取值范围。

3. 变式练 若将本例中的条件改为“当 $x ＜ 1$ 时，不等式 $x + \frac{1}{x - 1} \leq a$ 恒成立”，求实数 $a$ 的取值范围。

答案： 3.解：由$x + \frac{1}{x - 1} \leq a$恒成立，得$x + \frac{1}{x - 1}$的最大值小于或等于$a$．因为$x ＜ 1$，所以
$x + \frac{1}{x - 1} = -[(1 - x) + \frac{1}{1 - x}] + 1 \leq-2\sqrt{(1 - x) \cdot \frac{1}{1 - x}} + 1 = -1$．当且仅当
$1 - x = \frac{1}{1 - x}$，即$x = 0$时等号成立．
所以$a \geq -1$．

4. 同类练 若两个正数 $x$，$y$ 满足 $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 1$，并且 $x + 2y ＞ 2m - 1$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是$m ＜ \frac{9}{2}$。

答案： 4.$m ＜ \frac{9}{2}$

5. 拔高练 已知 $a ＞ b ＞ c$，且 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c} \geq \frac{m}{a - c}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围。

答案： 5.解：由$a ＞ b ＞ c$，知$a - b ＞ 0$，$b - c ＞ 0$，$a - c ＞ 0$．
所以原不等式等价于$\frac{a - c}{a - b} + \frac{a - c}{b - c} \geq m$．
要使原不等式恒成立，只需$\frac{a - c}{a - b} + \frac{a - c}{b - c}$的最小值不小于$m$即可.
因为$\frac{a - c}{a - b} + \frac{a - c}{b - c} = \frac{(a - b) + (b - c)}{a - b} + \frac{(a - b) + (b - c)}{b - c} = 2 + \frac{b - c}{a - b} + \frac{a - b}{b - c} \geq2 + 2\sqrt{\frac{b - c}{a - b} \cdot \frac{a - b}{b - c}} = 4$，
当且仅当$\frac{b - c}{a - b} = \frac{a - b}{b - c}$，即$2b = a + c$时，
等号成立，所以$m \leq 4$．