《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例1】(1)若$81$的四次方根为$a$，$-32$的五次方根为$b$，则$a + b=$1或$-5$。

答案： （1）1或$-5$
 

(2)若$\sqrt[4]{x - 2}$有意义，则实数$x$的取值范围是$[2, +\infty)$。

答案： （2）$[2, +\infty)$

1. 若$m^{10}=2$，则$m$等于(D)

A.$\sqrt[10]{2}$
B.$-\sqrt[10]{2}$
C.$\sqrt{2^{10}}$
D.$\pm\sqrt[10]{2}$

答案： 1.D

2. 若$x^{7}=6$，则$x=$$\sqrt[7]{6}$。

答案： 2.$\sqrt[7]{6}$

3. 若$\sqrt[5]{3 - x}$有意义，则$x$的取值范围是R。

答案： 3.R

【例2】(1)多选题 下列运算结果中正确的是(AD)
A.$\sqrt{(-8)^{2}}=8$
B.$\sqrt[3]{(-3)^{3}}=-9$
C.$\sqrt[8]{a^{8}}=a$
D.$\sqrt[5]{(-2)^{5}}=-2$

答案： （1）AD
 

(2)化简或计算下列各式。
①$\sqrt{6\frac{1}{4}}-\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}-\sqrt[3]{0.125}$；
②$\sqrt{x^{2}-2xy + y^{2}}+\sqrt[7]{(y - x)^{7}}$；
③$\sqrt[n]{(x - \pi)^{n}}(x \lt \pi,n \in \mathbf{N}^{*}$，且$n \gt 1)$。

答案： （2）解：①原式$ = \frac{1}{2}$.
②原式$ = \begin{cases} 0, & x \geq y, \\2y - 2x, & x ＜ y. \end{cases}$
③原式$ = \begin{cases} \pi - x, & n为偶数, 且 n ＞ 1, \\x - \pi, & n为奇数, 且 n ＞ 1. \end{cases}$

4. 变式练 将本例第（2）小题中的③改为如下题目，试求解。
化简$\sqrt[n]{(a - b)^{n}}+\sqrt[n]{(a + b)^{n}}(a \lt b \lt 0,n \gt 1$，且$n \in \mathbf{N}^{*})$。

答案： 4.解：原式$ = \begin{cases} 2a, & n ＞ 1, 且 n为奇数, \\-2a, & n ＞ 1, 且 n为偶数. \end{cases}$

5. 同类练 化简或计算下列各式。
（1）$\sqrt[8]{(x - 2)^{8}}$；
（2）$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{(1 - \sqrt{2})^{3}}+\sqrt[4]{(1 - \sqrt{2})^{4}}$。

答案： 5.解：
(1)原式$ = \begin{cases} x - 2, & x \geq 2, \\2 - x, & x ＜ 2. \end{cases}$
(2)原式$ = \sqrt{2} - 1$.

6. 拔高练 当$a \gt 0$时，$\sqrt{-ax^{3}}=$(C)

A.$\sqrt{ax}$
B.$x\sqrt{-ax}$
C.$-x\sqrt{-ax}$
D.$-x\sqrt{ax}$

答案： 6.C