《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

5. 求下列函数的定义域与值域。
(1) $ f(x) = (x - 1)^2 + 1 $，$ x \in \{-1, 0, 1, 2, 3\} $；
(2) $ f(x) = (x - 1)^2 + 1 $；
(3) $ f(x) = \frac{5x + 4}{x - 1} $；
(4) $ f(x) = x - \sqrt{x + 1} $。

答案： 5.解:
(1)函数的定义域为$\{-1,0,1,2,3\}$，函数的值域为$\{1,2,5\}$.
(2)函数的定义域为$\mathbf{R}$，函数的值域为$[1,+\infty)$.
(3)函数的定义域为$\{x|x\neq1\}$，函数的值域为$(-\infty,5)\cup(5,+\infty)$.
(4)函数的定义域是$\{x|x\geq - 1\}$，函数的值域是$[-\frac{5}{4},+\infty)$.

6. 若函数 $ y = x^2 - 3x - 4 $ 的定义域为 $ [0, m] $，值域为 $ \left[-\frac{25}{4}, -4\right] $，则 $ m $ 的取值范围是(C)

A.$ (0, 4] $
B.$ \left[-\frac{25}{4}, -4\right] $
C.$ \left[\frac{3}{2}, 3\right] $
D.$ \left[\frac{3}{2}, +\infty\right) $

答案： 6.C

7. 函数 $ y = 2x + 4\sqrt{1 - x} $ 的值域为$(-\infty,4]$(用区间表示)。

答案： 7.$(-\infty,4]$

8. 若函数 $ f(x) $ 的定义域是 $ [0, 1] $，则函数 $ f(2x) + f\left(x + \frac{2}{3}\right) $ 的定义域为$[0,\frac{1}{3}]$。

答案： 8.$[0,\frac{1}{3}]$

9. (1)已知函数 $ f(x) $ 的定义域为 $ [0, 1] $，求 $ f(x^2 + 1) $ 的定义域；

答案： 9.解:
(1)因为函数$f(x^{2}+1)$中的$x^{2}+1$相当于函数$f(x)$中的$x$，所以$0\leq x^{2}+1\leq1$，所以$-1\leq x^{2}\leq0$，所以$x = 0$，所以$f(x^{2}+1)$的定义域为$\{0\}$.
 

(2)已知 $ f(\sqrt{x + 1}) $ 的定义域为 $ [0, 3] $，求 $ f(x) $ 的定义域。

答案：
(2)因为$f(\sqrt{x + 1})$的定义域为$[0,3]$，所以$0\leq x\leq3$，所以$1\leq\sqrt{x + 1}\leq2$，所以$f(x)$的定义域为$[1,2]$.

10. 多空题 已知函数 $ f(x) = -x^2 + 2x + 3 $，若 $ x_1 ＜ x_2 ＜ 1 $，则 $ f(x_1) $＜ $ f(x_2) $；函数 $ f(x) $ 的值域为$(-\infty,4]$。

答案： 10.$＜$　$(-\infty,4]$