《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

对数函数的概念
情境Ⅰ：某种细胞分裂时，1个分裂成2个，2个分裂成4个，……1个这样的细胞分裂x次，得到细胞分裂的个数y与分裂的次数x的函数解析式为$y = 2^x$。如果知道了细胞的个数y，那么细胞分裂的次数$x=\log_{2}y$。
情境Ⅱ：某种放射性物质不断变化为其他物质，且每经过一年，这种物质剩余的质量是原来的84%，则这种物质的剩余量y（设初始质量为1）与年数x的函数解析式为$y = 0.84^x$，若已知该物质的剩余量y，则经过的时间$x=\log_{0.84}y$。
【思考】
(1)对于情境Ⅰ中的$x=\log_{2}y$，情境Ⅱ中的$x=\log_{0.84}y$，能否把y当作自变量，使得x是y的函数？
(2)类比指数函数的解析式的特征，对数函数的解析式有哪些特征？

答案：
(1)提示:根据指数函数的图象，知对于y的每一个值，x都有唯一确定的值和y对应，符合函数的定义，因此把y当作自变量时，x是y的函数.
(2)提示:对数函数的解析式满足两个条件：
①底数a满足a＞0，且a≠1.
②真数仅含有自变量x，且x＞0.

【例1】(1)已知函数$f(x)=\log_{4}(x + 3)$，若$f(\alpha)=2$，则$\alpha=$13 。

答案：
(1)13

 (2)若对数函数$f(x)$的图象过点$(4,-2)$，则$f(8)=$-3 。

答案：
(2)-3

1.若函数$f(x)=\log_{(a + 1)}x + a^2 - 2a - 8$是对数函数，则$a=$4 。

答案： 1.4