《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

5. 拔高练 设偶函数 $ f(x) $ 满足 $ f(x) = 2^x - 4 $($ x \geq 0 $)，则不等式 $ f(x - 2) ＞ 0 $ 的解集为{x|x＜0，或x＞4}.

答案： 5. $\{x\mid x＜0$，或$x＞4\}$

【例 3】(1)函数 $ y = a^x - \frac{1}{a} $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)的图象可能是 (D)

 
 (2)函数 $ f(x) = a^{x - 2} + 1 $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)的图象恒过定点(2,2).
【思路探索】
（1）在第（1）小题中，函数 $ y = a^x - \frac{1}{a} $（$ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $）中 $ a $ 的取值范围不确定，如何求解？
（2）在第（2）小题中，当 $ a $ 变化时，如何确定函数 $ f(x) = a^{x - 2} + 1 $ 的图象所过的定点？

答案： （1）D
@@（2）$(2,2)$
(1)可分a>1或0<a<1两种情况
(2)令x-2=0

6. 若函数 $ y = a^x + b - 1 $($ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $)的图象经过第二、第三、第四象限，则一定有 (C)

A.$ 0 ＜ a ＜ 1 $，且 $ b ＞ 0 $
B.$ a ＞ 1 $，且 $ b ＞ 0 $
C.$ 0 ＜ a ＜ 1 $，且 $ b ＜ 0 $
D.$ a ＞ 1 $，且 $ b ＜ 0 $

答案： 6. C

7. 若 $ a ＞ 0 $，且 $ a \neq 1 $，则函数 $ y = a^{x + 3} - 4 $ 的图象一定经过点(-3,-3).

答案： 7. $(-3,-3)$

【例 4】(1)函数 $ y = 2^{x^2 - 2x} $ 的值域为[$\frac{1}{2}$, +∞).
 （2）已知函数 $ f(x) = a - \frac{1}{2^x + 1} $（$ x \in \mathbf{R} $）.
① 用定义证明：不论 $ a $ 为何实数，$ f(x) $ 在 $ \mathbf{R} $ 上为增函数；
② 若 $ f(x) $ 为奇函数，求 $ a $ 的值；
③ 在②的条件下，求 $ f(x) $ 在区间 $ [1, 5] $ 上的最小值.
【思路探索】
（1）在第（1）小题中，指数是 $ x^2 - 2x $，如何求函数的值域？
（2）在第（2）小题中，如何利用 $ f(x) $ 是奇函数，求 $ a $ 的值？
（3）在第（2）小题中，如何求函数 $ f(x) $ 在区间 $ [1, 5] $ 上的最小值？

答案： （1）$[\frac{1}{2},+\infty)$
@@（2）①证明：因为$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$，任取$x_{1}＜x_{2}$，则$f(x_{1})-f(x_{2})=a-\frac{1}{2^{x_{1}}+1}-a+\frac{1}{2^{x_{2}}+1}=\frac{2^{x_{1}}-2^{x_{2}}}{(2^{x_{1}}+1)(2^{x_{2}}+1)}$.因为$x_{1}＜x_{2}$，所以$2^{x_{1}}-2^{x_{2}}＜0$，$(2^{x_{1}}+1)(2^{x_{2}}+1)＞0$.所以$f(x_{1})-f(x_{2})＜0$，即$f(x_{1})＜f(x_{2})$.所以不论$a$为何实数，$f(x)$在$\mathbf{R}$上为增函数.②$a=\frac{1}{2}$；③$\frac{1}{6}$

(1)提示：函数$y=2^{x}$与$y=(\frac{1}{2})^{x}$的图象 关于$y$轴对称，$y=3^{x}$与$y=(\frac{1}{3})^{x}$的图象 关于$y$轴对称.由此可知，底数互为倒数的 两个指数函数的图象关于$y$轴对称.
(2)提示：根据两个函数的图象关于$y$轴对 称，可利用$y=2^{x}$的图象作出$y=(\frac{1}{2})^{x}$的 图象.
(3)提示：横坐标一定，底数越大，图象越高.