《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例1】求下列各三角函数值。
（1）$\sin \frac{16}{3}\pi$；（2）$\cos(-765^{\circ})$；（3）$\tan(-750^{\circ})$。

答案： 【例1】解：$(1)\sin\frac{16\pi}{3}=\sin(4\pi+\frac{4}{3}\pi)=\sin\frac{4}{3}\pi$
$=\sin(\pi+\frac{\pi}{3})=-\sin\frac{\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$
$(2)\cos(-765^{\circ})=\cos765^{\circ}=\cos(2×360^{\circ}+$
$45^{\circ})=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
$(3)\tan(-750^{\circ})=-\tan750^{\circ}=-\tan(2×$
$360^{\circ}+30^{\circ})=-\tan30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.$

1. $\sin 750^{\circ} = $\frac{1}{2}；$\cos(-2040^{\circ}) = $-\frac{1}{2}。

答案： $1.\frac{1}{2} -\frac{1}{2}$

2. 计算：$\sin(-\frac{31\pi}{6}) - \cos(-\frac{10\pi}{3}) = $1。

答案： 2.1

【例2】已知$\cos(\frac{\pi}{6} - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\cos(\frac{5}{6}\pi + \alpha) - \sin^2(\alpha - \frac{\pi}{6})$的值。
【思路探索】

答案： $【$例$2】【$思路探索$】$角$\frac{\pi}{6}-\alpha$与$\frac{5}{6}\pi+\alpha$互补；$\frac{\pi}{6}-\alpha$与$\alpha-\frac{\pi}{6}$互为相反数解：因为$\cos(\frac{5}{6}\pi+\alpha)=\cos[\pi-(\frac{\pi}{6}-\alpha)]=-\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{3}，$$\sin^2(\alpha-\frac{\pi}{6})=\sin^2(\frac{\pi}{6}-\alpha)=1-\cos^2(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\frac{2}{3}，$所以$\cos(\frac{5}{6}\pi+\alpha)-\sin^2(\alpha-\frac{\pi}{6})=-\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{2}{3}=-\frac{2+\sqrt{3}}{3}.$　　
$【$思路探索$】 $角$\frac{\pi}{6}-\alpha$与$\frac{5}{6}\pi+\alpha$互补；$\frac{\pi}{6}-\alpha$与$\alpha-\frac{\pi}{6}$互为相反数　　

3. 变式练 本例中若条件不变，如何求$\sin^2(\frac{5}{6}\pi + \alpha) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{6})$的值？

答案： 3.解：因为$\cos(\frac{5}{6}\pi+\alpha)=\cos[\pi-(\frac{\pi}{6}-\alpha)]=$
$-\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=-\frac{\sqrt{3}}{3}，$
所以$\sin^2(\frac{5}{6}\pi+\alpha)=1-\cos^2(\frac{5}{6}\pi+\alpha)=$
$1-(-\frac{\sqrt{3}}{3})^2=\frac{2}{3}.$
又因为$\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})=\cos[-(\frac{\pi}{6}-\alpha)]=$
$\cos(\frac{\pi}{6}-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{3}，$所以$\sin^2(\frac{5}{6}\pi+\alpha)-$
$\cos(\alpha-\frac{\pi}{6})=\frac{2}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2-\sqrt{3}}{3}.$

4. 同类练 若$\sin(\pi + \alpha) = -\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2} ＜ \alpha ＜ \pi)$，则$\tan(\alpha - 7\pi)$的值为(B)

A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.1
D.$\sqrt{3}$

答案： 4.B