《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

3. 经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来 30 天的日销售量 $ m(t) $（单位：百件）与时间第 $ t $ 天的关系如表所示。
未来 30 天受市场因素影响，前 15 天此商品每天每件的利润 $ f_1(t) $（单位：元）与时间第 $ t $ 天的函数解析式为 $ f_1(t) = -3t + 88 (1 \leq t \leq 15 $，且 $ t $ 为整数），而后 15 天此商品每天每件的利润 $ f_2(t) $（单位：元）与时间第 $ t $ 天的函数解析式为 $ f_2(t) = \frac{600}{t} + 2 (16 \leq t \leq 30 $，且 $ t $ 为整数）。
（1）现给出以下两种函数模型：① $ m(t) = kt + b (k, b $ 为常数）；② $ m(t) = b \cdot a^t (a, b $ 为常数，$ a ＞ 0 $ 且 $ a \neq 1 $）。结合表格中的数据，请说明哪种函数模型更合适，并求出该函数的解析式。
（2）若这 30 天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过 4 万元，则考虑转型。请判断该公司是否需要转型，并说明理由。

答案： 3. 解：
(1) 若选择模型①，将 (1,2) 以及 (3,3) 代入可得 $\begin{cases} k + b = 2, \\ 3k + b = 3, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} k = \frac{1}{2}, \\ b = \frac{3}{2}, \end{cases}$
即 $m(t) = \frac{t}{2} + \frac{3}{2}$，经验证，符合题意。
若选择模型②，将 (1,2) 以及 (3,3) 代入可得 $\begin{cases} ab = 2, \\ ba^3 = 3, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} a = \frac{\sqrt{6}}{2}, \\ b = \frac{2\sqrt{6}}{3}, \end{cases}$
即 $m(t) = \frac{2\sqrt{6}}{3} × (\frac{\sqrt{6}}{2})^t$，
当 $t = 10$ 时，$m(10) \approx 12.4$，故此函数模型不符合题意。
所以函数模型①更合适，其解析式为 $m(t) = \frac{t}{2} + \frac{3}{2} (1 \leq t \leq 30$，且 $t$ 为整数$)$。
(2) 该公司需要转型，理由略。

1. 下列函数中函数值随 $ x $ 的增大而增大，且增长速度越来越快的是 (A)

A.$ y = \frac{1}{100}e^x $
B.$ y = 100\ln x $
C.$ y = x^{100} $
D.$ y = 100x $

答案： 1.A

2. 下表是某次测量中两个变量 $ x, y $ 的一组数据，若将 $ y $ 表示为 $ x $ 的函数，则最可能的函数模型是 (D)


A.一次函数模型
B.二次函数模型
C.指数函数模型
D.对数函数模型

答案： 2.D