《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

基本不等式
情境：在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图①所示，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。通过模拟图（如图②所示）能够得到不等式$a^{2}+b^{2}\geq2ab$。
【思考】
（1）如果$a ＞ 0,b ＞ 0$，我们用$\sqrt{a},\sqrt{b}$分别代替$a,b$，可得什么不等关系？
（2）为什么限制$a ＞ 0,b ＞ 0$？

答案： 【思考】
(1)提示：用$\sqrt{a},\sqrt{b}$分别代替$a,b$，可得到
$\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$.
(2)提示：当$a,b$中至少有一个小于$0$时，
不等式$\frac{a+b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$不成立；
当$a,b$中至少有一个等于$0$时，不等式没
有研究价值.
故规定$a＞0,b＞0$.

【例1】(1)多选题 下列说法正确的是()

A.$\forall a,b\in\mathbf{R},\frac{a + b}{2}\geq\sqrt{ab}$成立
B.若$a ＞ 0,b ＞ 0$，且$a\neq b$，则$a + b ＞ 2\sqrt{ab}$
C.$\forall a,b\in\mathbf{R},a^{2}+b^{2}\geq2ab$
D.若$x ＞ 2$，则$x+\frac{1}{x}\geq2$中可以取等号

答案：
(1)BC 解析：A项，当$a=-1,b=$
$-1$时，不等式不成立，故A项错误；
D项，$x+\frac{1}{x} \geqslant 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}=2$时取等号的条
件为$\begin{cases}x=\frac{1}{x}, \\x＞2,\end{cases}$无解，不等式中不可取等号，
故D项错误.

 (2)若$0 ＜ a ＜ 1,0 ＜ b ＜ 1$，且满足$(1 - a)\cdot b ＞ \frac{1}{4}$，则$a,b$的大小关系是()

A.$a ＞ b$
B.$a\geq b$
C.$a\leq b$
D.$a ＜ b$

答案：
(2)D 解析：因为$0＜a＜1,0＜b＜1$，且满
足$(1-a)\cdot b＞\frac{1}{4}$，所以$\sqrt{(1-a)\cdot b}＞\frac{1}{2}$.
又因为$\sqrt{(1-a)\cdot b} \leqslant \frac{(1-a)+b}{2}$，所以
$\frac{1-a+b}{2}＞\frac{1}{2}$，
所以$b＞a$，
故选D.