《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵. 记鲑鱼的游速为 $ v $（单位：m/s），鲑鱼耗氧量的单位数为 $ Q $，研究中发现 $ v $ 与 $ \log_{3}\frac{Q}{100} $ 成正比，且当 $ Q = 900 $ 时，$ v = 1 $.
(1) 求出 $ v $ 关于 $ Q $ 的函数解析式.
(2) 当一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时，耗氧量的单位数是多少?
(3) 一条鲑鱼要想把游速提高 1 m/s，其耗氧量的单位数应怎样变化?

答案：
(1)
根据题意，设 $v = k \log_{3}\frac{Q}{100}$，
当 $Q = 900$ 时，$v = 1$，代入得：
$1 = k \log_{3}\frac{900}{100}$
$1 = k \log_{3}9$
$1 = 2k$
解得 $k = \frac{1}{2}$，
所以 $v$ 关于 $Q$ 的函数解析式为 $v = \frac{1}{2} \log_{3}\frac{Q}{100}$（$Q ＞ 0$）。
(2)
将 $v = 1.5$ 代入 $v = \frac{1}{2} \log_{3}\frac{Q}{100}$，得：
$1.5 = \frac{1}{2} \log_{3}\frac{Q}{100}$
$\log_{3}\frac{Q}{100} = 3$
$\frac{Q}{100} = 3^{3}$
$Q = 2700$
所以当一条鲑鱼的游速是 $1.5 \, m/s$ 时，耗氧量的单位数是 $2700$。
(3)
设提高前的耗氧量为 $Q_{1}$，提高后的耗氧量为 $Q_{2}$，游速提高 $1 \, m/s$，即：
$\frac{1}{2} \log_{3}\frac{Q_{2}}{100} - \frac{1}{2} \log_{3}\frac{Q_{1}}{100} = 1$
$\log_{3}\frac{Q_{2}}{100} - \log_{3}\frac{Q_{1}}{100} = 2$
$\log_{3}\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 2$
$\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 3^{2}$
$\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 9$
$Q_{2} = 9Q_{1}$
所以一条鲑鱼要想把游速提高 $1 \, m/s$，其耗氧量的单位数应变为原来的 $9$ 倍。

3. 声强级 $ Y $（单位：分贝）由公式 $ Y = 10\lg\frac{I}{10^{-12}} $ 给出，其中 $ I $ 为声强（单位：$ W/m^{2} $）.
(1) 一般常人能听到的最低声强级是 0 分贝，则能听到的最低声强为多少?
(2) 比较理想的睡眠环境要求声强级 $ Y \leq 50 $ 分贝，已知熄灯后两名学生在宿舍说话的声强为 $ 5× 10^{-7}W/m^{2} $，问：这两名同学是否会影响其他同学休息?

答案： 3.解:
(1)当$Y = 0$，即$10\lg\frac{I}{10^{-12}} = 0$时，$\frac{I}{10^{-12}} = 1$，则$I = 10^{-12} W/m^{2}$，则能听到的最低声强为$10^{-12} W/m^{2}$.
(2)当声强$I = 5 × 10^{-7} W/m^{2}$时，声强级$Y = 10\lg\frac{5 × 10^{-7}}{10^{-12}} = 10\lg(5 × 10^{5}) = 50 + 10\lg5＞50$，所以这两名同学会影响其他同学休息.

【例 3】某工厂今年 1 月、2 月、3 月生产某种产品的数量分别是 1 万件、1.2 万件、1.3 万件，为了预测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量 $ y $ 与月份 $ x $ 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数 $ y = ab^{x} + c $（其中 $ a $，$ b $，$ c $ 为常数，$ a \neq 0 $，$ b ＞ 0 $，$ b \neq 1 $），已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件，则用以上哪个函数作为模拟函数较好?
【思路探索】
如何选择给定的函数模型?

答案： 解:设$y_1 = f(x) = px^{2} + qx + r$（$p,q,r$为常数，且$p \neq 0$），$y_2 = g(x) = ab^{x} + c$（$a,b,c$为常数，$a \neq 0,b ＞ 0,b \neq 1$），根据已知有$\begin{cases}p + q + r = 1\\4p + 2q + r = 1.2\\9p + 3q + r = 1.3\end{cases}$和$\begin{cases}ab + c = 1\\ab^{2} + c = 1.2\\ab^{3} + c = 1.3\end{cases}$解得$\begin{cases}p = - 0.05\\q = 0.35\\r = 0.7\end{cases}$，$\begin{cases}a = - 0.8\\b = 0.5\\c = 1.4\end{cases}$所以$f(x) = - 0.05x^{2} + 0.35x + 0.7$，$g(x) = - 0.8 × 0.5^{x} + 1.4$.所以$f(4) = 1.3$，$g(4) = 1.35$.显然$g(4)$更接近1.37，故选用$y = - 0.8 × 0.5^{x} + 1.4$作为模拟函数较好.
待定系数法