《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

4. $(1+\tan^{2}15^{\circ})\cos^{2}15^{\circ}$的值等于(B)

A.$\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$
B.$1$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 4.B

5. 若$\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=2$，则$\sin\theta\cos\theta$的值是(C)

A.$\frac{3}{4}$
B.$\pm\frac{3}{10}$
C.$\frac{3}{10}$
D.$-\frac{3}{10}$

答案： 5.C

6. 若$\sin\alpha = 3\cos\alpha$，则$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=$______。

答案： 6.2

7. 化简：$\sqrt{1 - 2\sin40^{\circ}\cos40^{\circ}}=$$\cos40^{\circ}-\sin40^{\circ}$。

答案： 7.$\cos40^{\circ}-\sin40^{\circ}$

8. 已知$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}$及$\sin\alpha-\cos\alpha$的值。

答案： 8.解：$\tan\alpha+\frac{1}{\tan\alpha}=-3$，
$\sin\alpha-\cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{15}}{3}$.

9. 已知$\alpha$是第三象限角，化简$\sqrt{\frac{1 + \sin\alpha}{1 - \sin\alpha}}-\sqrt{\frac{1 - \sin\alpha}{1 + \sin\alpha}}=$(C)

A.$\tan\alpha$
B.$-\tan\alpha$
C.$-2\tan\alpha$
D.$2\tan\alpha$

答案： 9.C

10. 若$\tan\alpha=-\frac{1}{2}$，则$\frac{1 + 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^{2}\alpha-\cos^{2}\alpha}=$$-\frac{1}{3}$。

答案： 10.$-\frac{1}{3}$

11. 在$\triangle ABC$中，若$\sqrt{2}\sin A=\sqrt{3\cos A}$，则角$A=$$\frac{\pi}{3}$。

答案： 11.$\frac{\pi}{3}$

12. 已知$\frac{\tan^{2}\alpha}{1 + 2\tan\alpha}=\frac{1}{3}$，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$。
（1）求$\tan\alpha$的值；
（2）求$\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}{5\cos\alpha-\sin\alpha}$的值。

答案： 12.解：
(1)$\tan\alpha=-\frac{1}{3}$.
(2)$\frac{\sin\alpha+2\cos\alpha}{5\cos\alpha-\sin\alpha}=\frac{5}{16}$.

13. 求证：$\frac{\cos\alpha}{1 + \sin\alpha}-\frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha}=\frac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)}{1 + \sin\alpha+\cos\alpha}$。

答案： 13.证明：左边
$=\frac{\cos\alpha(1+\cos\alpha)-\sin\alpha(1+\sin\alpha)}{(1+\sin\alpha)(1+\cos\alpha)}=$
$=\frac{\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha+\cos\alpha-\sin\alpha}{1+\sin\alpha+\cos\alpha+\sin\alpha\cos\alpha}=$
$=\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha+1)}{(\cos\alpha+\sin\alpha+1)^{2}}=$
$=\frac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos\alpha+\sin\alpha+1)}{(\sin\alpha+\cos\alpha+1)^{2}}=$
$=\frac{2(\cos\alpha-\sin\alpha)}{1+\sin\alpha+\cos\alpha}=$右边.
所以原等式成立.

14. 多选题 已知$\alpha\in(0,\pi)$，$\sin\alpha$，$\cos\alpha$是关于$x$的方程$3x^{2}-x - m = 0$的两根，则下列等式正确的是(BD)

A.$m = -\frac{4}{3}$
B.$\sin\alpha-\cos\alpha=\frac{\sqrt{17}}{3}$
C.$\tan\alpha=\frac{7}{13}$
D.$\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=-\frac{\sqrt{17}}{9}$

答案： 14.BD