《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

二分法
情境：课堂上，老师让一名学生从 $1 \sim 100$ 这 $100$ 个自然数中任想一个数（不要说出来）。
师：这个数在 $1 \sim 50$ 之间吗？
生：不是。
师：这个数在 $50 \sim 75$ 之间吗？
生：不是。
师：这个数在 $76 \sim 88$ 之间吗？
生：是。
师：这个数在 $76 \sim 82$ 之间吗？
生：是。
……
【思考】
（1）若函数 $y = f(x)$ 的零点所在的区间为 $(a,b)$，能否使用情境中的方法，逐步缩小零点所在的区间？
（2）怎样用二分法求函数零点近似值？
（3）所有函数的零点都可以用二分法求近似值吗？

答案：
(1)提示:可以，取区间$(a,b)$的中点$x_1=\frac{a + b}{2}$，把区间$(a,b)$分成两个区间$(a,x_1)$和$(x_1,b)$及中点$x_1$，然后根据$f(a)$，$f(b)$，$f(x_1)$的符号确定零点所在的区间，确定区间后再用其中点一分为二，依次进行下去.
(2)提示:给定精确度$\epsilon$，用二分法求函数$y = f(x)$零点$x_0$的近似值的一般步骤如下:
①确定零点$x_0$的初始区间$[a,b]$，验证$f(a)f(b)＜0$.
②求区间$(a,b)$的中点$c$.
③计算$f(c)$，并进一步确定零点所在的区间:
Ⅰ.若$f(c)=0$（此时$x_0 = c$），则$c$就是函数的零点；
Ⅱ.若$f(a)f(c)＜0$（此时$x_0\in(a,c)$），则令$b = c$；
Ⅲ.若$f(c)f(b)＜0$（此时$x_0\in(c,b)$），则令$a = c$.
④判断是否达到精确度$\epsilon$：若$\vert a - b\vert＜\epsilon$，则得到零点近似值$a$（或$b$）；否则重复步骤② - ④.
(3)提示:不是.零点两侧函数值符号相反的零点可用二分法求近似值，零点两侧函数值符号相同的零点无法用二分法求解.

【例 1】(1)已知函数 $f(x)$ 的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为(D)


A.$4$，$4$
B.$3$，$4$
C.$5$，$4$
D.$4$，$3$

答案：
(1)D

 (2)用二分法求方程 $2^{x} + x - 5 = 0$ 在区间 $[1,3]$ 上的根，如果取区间的中点 $x_{0} = 2$，那么下一个有根的区间是(1,2)。

答案：
(2)(1,2)