《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

  正弦函数、余弦函数的图象
情境：摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，挂在摩天轮边缘的是供乘客搭乘的座舱。乘客可以坐在座舱里随着摩天轮的旋转欣赏四周的景色。

【思考】
如果将摩天轮的座舱抽象为一个点，面向情境中的摩天轮，假设摩天轮沿顺时针方向旋转，其半径为 1，那么选定一个座舱，并以该座舱所在半径转过的弧度为横坐标，以座舱离开水平中轴的高度（上方为正、下方为负）为纵坐标，描绘出与该座舱旋转一周时的位置一一对应的点，并把这些点连接起来，并不断向左、向右平移（每次移动 $ 2\pi $ 个单位长度），就会得到一条“波浪起伏”的曲线。
(1) 当座舱以与水平中轴在同一水平线上的左端点为起点时，得到的曲线是哪个函数的图象，该曲线叫做什么曲线？
(2) 当座舱以最高点为起点时，得到的曲线是哪个函数的图象，该曲线叫做什么曲线？
(3) 在画曲线的过程中，确定五个关键点就可以确定出正弦函数、余弦函数的图象形状，请分别写出正弦函数、余弦函数图象的五个关键点的坐标。
(4) 余弦函数的图象与正弦函数的图象的形状和位置一样吗？它们之间有什么关系？

答案：
(1)提示:得到的曲线是正弦函数的图象，该曲线叫做正弦曲线.
(2)提示:得到的曲线是余弦函数的图象，该曲线叫做余弦曲线.
(3)提示:正弦函数：$(0,0)$，$(\frac{\pi}{2},1)$，$(\pi,0)$，$(\frac{3\pi}{2},-1)$，$(2\pi,0)$；
余弦函数：$(0,1)$，$(\frac{\pi}{2},0)$，$(\pi,-1)$，$(\frac{3\pi}{2},0)$，$(2\pi,1)$.
(4)提示:它们形状一样，位置不一样.将正弦函数的图象向左平移$\frac{\pi}{2}$个单位长度的4n＋1(n为自然数)倍，就可以得到余弦函数的图象.