《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

  不等式的性质
等式有下面的基本性质：
性质1：如果$a = b$，那么$b = a$；
性质2：如果$a = b$，$b = c$，那么$a = c$；
性质3：如果$a = b$，那么$a \pm c = b \pm c$；
性质4：如果$a = b$，那么$ac = bc$；
性质5：如果$a = b$，$c \neq 0$，那么$\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$。
【思考】
(1)类比等式的性质1，2，你能猜想出不等式的什么性质吗？
(2)类比等式的性质3，4，5，还可以猜想出不等式的哪些性质呢？
(3)不等式的性质5：如果$a ＞ b$，$c ＞ d$，那么$a + c ＞ b + d$是由不等式的哪些性质推出的？
(4)不等式的性质6：如果$a ＞ b ＞ 0$，$c ＞ d ＞ 0$，那么$ac ＞ bd$和性质7：如果$a ＞ b ＞ 0$，那么$a^n ＞ b^n(n \in \mathbf{N},n \geq 2)$是由不等式的哪些性质推出的？

答案： 【思考】
(1)提示：类比等式的性质1，可猜想如果$a＞b$，那么$b＜a$；如果$b＜a$，那么$a＞b$，即$a＞b\Leftrightarrow b＜a$。
类比等式的性质2，可猜想如果$a＞b$，$b＞c$，那么$a＞c$，即$a＞b$，$b＞c \Rightarrow a＞c$。
(2)提示：类比等式的性质3，4，5，可猜想：
①如果$a＞b$，那么$a+c＞b+c$。
②如果$a＞b$，$c＞0$，那么$ac＞bc$；如果$a＞b$，$c＜0$，那么$ac＜bc$。
(3)提示：不等式的性质2和3.
(4)提示：不等式的性质4和性质2。

【例1】判断下列命题的真假。
(1)若$a ＞ b$，则$ac ＜ bc$；
(2)若$a ＜ b ＜ 0$，则$a^2 ＞ ab ＞ b^2$。

答案： 【例1】解：
(1)由于$c$的正、负或是否为零未知，故判断$ac$与$bc$的大小缺乏依据，所以该命题为假命题.
(2)$\begin{cases} a ＜ b, \\ a ＜ 0 \end{cases} \Rightarrow a^2＞ab$；$\begin{cases} a ＜ b, \\ b ＜ 0 \end{cases} \Rightarrow ab＞b^2$。所以$a^2＞ab＞b^2$，所以该命题为真命题.