《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

  函数的最大(小)值
情境：某市一天0～24时的温度变化曲线如图所示.

【思考】
(1) 从图中可知，这一天该市何时温度达到最高？最高温度是多少？
(2) 从图中可知，这一天该市何时温度达到最低？最低温度是多少？
(3) 任何函数$f(x)$都有最大值和最小值吗？
(4) 若函数$f(x)\leqslant M$，则$M$一定是函数$f(x)$的最大值吗？

答案：
(1)提示:这一天该市14时温度达到最高，最高温度是32℃.
(2)提示:这一天该市4时温度达到最低，最低温度是25℃.
(3)提示:不一定.反例:f(x)=x既无最大值，也无最小值.
(4)提示:不一定，只有在定义域内存在一点x₀，使f(x₀)=M时，M才是函数的最大值，否则不是.

【例1】
(1) 若函数$f(x)$在区间$[-2,5]$上的图象如图所示，则此函数在该区间上的最小值、最大值分别是(C)

A.$-2$，$f(2)$
B.$2$，$f(2)$
C.$-2$，$f(5)$
D.$2$，$f(5)$

答案：
(1)C

 (2) 已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2,-1\leqslant x\leqslant1,\\\dfrac{1}{x},x＞1.\end{cases}$求$f(x)$的最大值、最小值.

答案：

(2)解:作出函数f(x)的图象(如图).
　　　
由图象可知,当x=±1时,f(x)取得最大值1.
当x=0时,f(x)取得最小值0.
故f(x)的最大值为1,最小值为0.