《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

诱导公式五、六
[思考]
(1)公式五、六的内容是什么？怎样由公式
五得到公式六？
(2)公式五、六的特点和规律是什么？

答案：
[思考]
(1)提示:
　
公式五
$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha$
$\cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\alpha$
以$-\alpha$代$\alpha$
公式六
$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\cos\alpha$
$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha$
(2)提示:公式五、六中，$\frac{π}{2}$±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值，函数值前面的符号为把α看成锐角时原函数值的符号，简记为“函数名改变，符号看象限”

[例1]已知cos(π十α)=−$\frac{1}{2}$,α为第一象限
角,求cos($\frac{π}{2}$+α)的值.

答案： [例1]解:因为$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha=-\frac{1}{2}$，所以$\cos\alpha=\frac{1}{2}$。
又因为α为第一象限角，
所以$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
所以$\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$。

1.已知cos($\frac{π}{6}$−α)=$\frac{2}{3}$,求下列各式的值:
(1)sin($\frac{π}{3}$+α); (2)sin(α−

$\frac{2π}{3}$

).

答案： 1.解:
(1)$\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)=\sin\left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\right]=\cos\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{2}{3}$。
(2)$\sin\left(\alpha-\frac{2\pi}{3}\right)=\sin\left[-\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\right]=-\sin\left[\frac{\pi}{2}+\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\right]=-\cos\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=-\frac{2}{3}$。

[例2已知cosα=−$\frac{4}{5}$,且α为第三象限角.
(1)求sinα的值;
tan(π−α)sin(π−α)sin($\frac{π}{2}$−α)
(2)求f(α)= cos(π+α)
的值.

答案： [例2]解:
(1)因为$\cos\alpha=-\frac{4}{5}$，且α为第三象限角，
所以$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=-\frac{3}{5}$。
(2)$f(\alpha)=\frac{(-\tan\alpha)\sin\alpha\cos\alpha}{-\cos\alpha}=\tan\alpha\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha=\frac{\sin^{2}\alpha}{\cos\alpha}=\left(-\frac{3}{5}\right)^{2}×\left(-\frac{5}{4}\right)=-\frac{9}{20}$。