《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

一、一元二次不等式的概念
观察下列不等式，回答问题.
① $x^2 ＞ 0$；
② $x^2 - 7x + 6 ＞ 0$；
③ $x^2 - 7x + 6 ＜ 0$.
【思考】
(1)以上给出的三个不等式，它们含有几个未知数？未知数的最高次数是多少？由此请你给出一元二次不等式的概念.
(2)以上三个不等式在表示形式上有何共同特点？

答案：
(1)提示:均含有一个未知数$x$.未知数的最高次数为2.一元二次不等式的概念:一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
(2)提示:三个不等式都形如:$ax^{2}+bx+c＞0$(或$ax^{2}+bx+c＜0$)，其中$a$,$b$,$c$均为常数，$a\neq0$.

二、一元二次不等式的解法
情境：二次函数 $y = x^2 - 7x + 6$ 的图象如图所示.

【思考】
(1)方程 $x^2 - 7x + 6 = 0$ 的根是什么？
(2)函数 $y = x^2 - 7x + 6$ 的图象与 $x$ 轴交点的坐标是什么？由此，请你写出这个二次函数的零点.
(3)观察图象，试写出 $y ＞ 0$ 和 $y ＜ 0$ 的解集.

答案：
(1)提示:由$x^{2}-7x+6=0$，得$(x - 6)(x - 1)=0$，所以$x = 6$或$x = 1$，即方程$x^{2}-7x+6=0$的根为1或6.
(2)提示:由情境中的图象知二次函数的图象与$x$轴交点的坐标为$(1,0)$，$(6,0)$.这个二次函数的零点为$x_{1}=1$，$x_{2}=6$.
(3)提示:观察图象，知$y＞0$，即$x^{2}-7x+6＞0$，其解集为$\{x\mid x＞6$，或$x＜1\}$；$y＜0$，即$x^{2}-7x+6＜0$，其解集为$\{x\mid1＜x＜6\}$.