《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例 1】原有一片面积为 $ a $ 的森林，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等. 经计算，砍伐到原面积的一半时，所用时间是 10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 $\frac{1}{4}$，已知到今年为止，森林的剩余面积为原面积的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1) 求每年砍伐面积的百分比.
(2) 到今年为止，已经砍伐了多少年?
(3) 今后最多还能砍伐多少年?

答案： 解:
(1)设每年砍伐面积的百分比为$x$.
则$a(1 - x)^{10} = \frac{1}{2}a$，即$(1 - x)^{10} = \frac{1}{2}$，
解得$x = 1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{10}}$，
则每年砍伐面积的百分比为$1 - (\frac{1}{2})^{\frac{1}{10}}$.
(2)设经过$n$年的砍伐，森林的剩余面积为原面积的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$a(\frac{1}{2})^{\frac{n}{10}} = \frac{\sqrt{2}}{2}a$，即$(\frac{1}{2})^{\frac{n}{10}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$，解得$n = 5$，
则到今年为止，已经砍伐了5年.
(3)设该片森林一共可砍伐$m$年，
则$a(\frac{1}{2})^{\frac{m}{10}} = \frac{1}{4}a$，即$(\frac{1}{2})^{\frac{m}{10}} = (\frac{1}{2})^2$，
解得$m = 20$，
则该片森林一共可砍伐20年，
故今后最多还能砍伐$20 - 5 = 15$(年).

1. 某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 $ p $，第二年的增长率为 $ q $，则该市这两年生产总值的年平均增长率为(D)
 

A.$\frac{p + q}{2}$
B.$\frac{(p + 1)(q + 1) - 1}{2}$
C.$\sqrt{pq}$
D.$\sqrt{(p + 1)(q + 1)} - 1$

答案： 1.D

2. 某食品的保鲜时间 $ y $(单位：h)与储藏温度 $ x $(单位：$^{\circ}C$)满足函数关系 $ y = e^{kx + b} $($ e = 2.71828\cdots $ 为自然对数的底数，$ k $，$ b $ 为常数). 若该食品在 $ 0^{\circ}C $ 的保鲜时间是 192 h，在 $ 22^{\circ}C $ 的保鲜时间是 48 h，则该食品在 $ 33^{\circ}C $ 的保鲜时间是24 h.

答案： 2.24