《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例1】(1)若关于$x$的一元二次不等式$ax^{2}+2ax + 1＞0$的解集为$\mathbf{R}$，则实数$a$的取值范围是0＜a＜1。
(2)已知函数$y = 3ax^{2}+2ax$，若对任意的$x\in\mathbf{R}$，$y＜1$恒成立，则实数$a$的取值范围为-3＜a≤0。

答案：
(1)$0＜a＜1$解析：因为关于$x$的一元二次不等式$ax^{2}+2ax + 1＞0$的解集为$\mathbf{R}$，所以$\begin{cases}a＞0,\\\Delta=(2a)^{2}-4a＜0,\end{cases}$所以$0＜a＜1$.
(2)$-3＜a\leq0$解析：对任意的$x\in\mathbf{R}$，$y＜1$恒成立，即$3ax^{2}+2ax - 1＜0$恒成立，当$a = 0$时，显然成立；当$a\neq0$时，$\begin{cases}a＜0,\\\Delta=4a^{2}+12a＜0,\end{cases}$解得$-3＜a＜0$，综上所述，$-3＜a\leq0$.

1. 变式练 将本例第(1)小题的条件改为“若正实数$x$，$y$满足$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=1$，且$x+\frac{y}{4}＞a^{2}-3a$恒成立”，则实数$a$的取值范围为-1＜a＜4。

答案： 1.$-1＜a＜4$

2. 同类练 若关于$x$的一元二次不等式$2kx^{2}+kx-\frac{3}{8}＜0$对一切实数$x$都成立，则$k$的取值范围为-3＜k＜0。

答案： 2.$-3＜k＜0$

3. 拔高练 正数$a$，$b$满足$\frac{1}{a}+\frac{9}{b}=1$，若关于$x$的不等式$a + b\geqslant -x^{2}+4x + 18 - m$对任意实数$x$恒成立，则实数$m$的取值范围是m≥6。

答案： 3.$m\geq6$