《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 若$a,b$为正数，且$a + b\leq4$，则()

A.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq1$
B.$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq2$
C.$ab\leq4$
D.$ab\geq8$

答案： 1.C

2. 若$a ＞ b ＞ c$，则$\sqrt{(a - b)(b - c)}$与$\frac{a - c}{2}$的大小关系是。

答案： 2.$\sqrt{(a-b)(b-c)} \leqslant \frac{a-c}{2}$

【例2】已知$a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0$，且$a + b + c = 1$，求证：$(a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})\geq10$。

答案： 【解题模型示范】
读：$a,b,c$都是正数，且$a + b + c = 1$。
想：将不等式左边的“$1$”用$a + b + c$代替。
算：$(a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})=(a+\frac{a + b + c}{a})+(b+\frac{a + b + c}{b})+(c+\frac{a + b + c}{c}) = 4+(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{c}{a}+\frac{a}{c})+(\frac{c}{b}+\frac{b}{c})\geq4 + 2 + 2 + 2 = 10$，当且仅当$a = b = c=\frac{1}{3}$时，等号成立。所以$(a+\frac{1}{a})+(b+\frac{1}{b})+(c+\frac{1}{c})\geq10$。
思：利用基本不等式证明不等式的方法从已证不等式和问题的条件出发，借助不等式的性质和基本不等式等，经过逐步推理，最后转化为所求问 题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”。

3. 变式练 已知$a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0$，且$abc = 1$，求证：$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\leq\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$。

答案： 3.证明：因为$a,b,c$都是正数，且$abc=1$，
所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{ab}}=2\sqrt{c}$，
$\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{bc}}=2\sqrt{a}$，
$\frac{1}{a}+\frac{1}{c} \geqslant 2\sqrt{\frac{1}{ac}}=2\sqrt{b}$，
以上三个不等式相加，得
$2(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \geqslant 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$，
即$\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \leqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$，
当且仅当$a=b=c=1$时，等号成立.

4. 同类练 已知$a,b,c$均为大于$0$的实数，求证：$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geq a + b + c$。

答案： 4.证明：因为$a,b,c$均为大于$0$的实数，
所以$\frac{a^2}{b},\frac{b^2}{c},\frac{c^2}{a}$均大于$0$.
又因为$\frac{a^2}{b}+b \geqslant 2\sqrt{\frac{a^2}{b} \cdot b}=2a$，
$\frac{b^2}{c}+c \geqslant 2\sqrt{\frac{b^2}{c} \cdot c}=2b$，
$\frac{c^2}{a}+a \geqslant 2\sqrt{\frac{c^2}{a} \cdot a}=2c$，
三式相加，得$\frac{a^2}{b}+b+\frac{b^2}{c}+c+\frac{c^2}{a}+a \geqslant2a+2b+2c$，
所以$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a} \geqslant a+b+c$，当且仅当
$a=b=c$时，等号成立.

5. 拔高练 已知$a,b$都是正数，且$a + b = 1$，求证：$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geq9$。

答案： 5.证明：因为$a＞0,b＞0$，且$a+b=1$，
所以$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=(1+\frac{a+b}{a})(1+\frac{a+b}{b})=(2+\frac{b}{a})(2+\frac{a}{b})=5+2(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}) \geqslant5+4\sqrt{\frac{a}{b} × \frac{b}{a}}=9$，
当且仅当$\frac{a}{b}=\frac{b}{a}$，即$a=b=\frac{1}{2}$时，等号
成立.
所以$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \geqslant 9$.