《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

一、指数函数 $ y = a^x (a ＞ 1) $ 与一次函数 $ y = kx (k ＞ 0) $ 的增长差异
情境：函数 $ y = 2^x $ 和 $ y = 2x $ 在区间 $[0, +\infty)$ 上的部分函数值和图象如下。

【思考】
（1）当自变量越来越大时，函数 $ y = 2^x $ 和 $ y = 2x $ 的图象各有什么特点？其函数值如何变化？
（2）怎样理解“指数爆炸”？

答案： （1）提示：当自变量越来越大时，函数 $y = 2^x$ 的图象就像与 $x$ 轴垂直一样，函数值极速增长；函数 $y = 2x$ 的图象是一条直线，函数值增长速度不变。
（2）提示：“指数爆炸”是比喻指数函数当自变量越来越大时，函数值的增长速度越来越快，像爆炸一样。

  二、对数函数 $ y = \log_a x (a ＞ 1) $ 与一次函数 $ y = kx (k ＞ 0) $ 的增长差异
情境：函数 $ y = \lg x $ 和 $ y = \frac{1}{10}x $ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的部分函数值和图象如下。

【思考】
（1）函数 $ y = \frac{1}{10}x $ 和 $ y = \lg x $ 的图象与 $ x $ 轴有怎样的关系？它们的增长速度怎样变化？
（2）怎样理解“直线上升”和“对数增长”？
（3）一次函数 $ y = kx (k ＞ 0) $，对数函数 $ y = \log_a x (a ＞ 1) $ 和指数函数 $ y = b^x (b ＞ 1) $ 有怎样的增长差异？

答案： （1）提示：函数 $y = \frac{1}{10}x$ 的图象离 $x$ 轴越来越远，增长速度保持不变；函数 $y = \lg x$ 的图象越来越平缓，就像与 $x$ 轴平行一样，增长速度越来越慢。
（2）提示：“直线上升”是指增长速度保持不变，“对数增长”是指增长速度越来越慢。
（3）提示：随着自变量 $x$ 的越来越大，指数函数 $y = b^x (b ＞ 1)$ 的增长速度越来越快，一次函数 $y = kx (k ＞ 0)$ 的增长速度保持不变，对数函数 $y = \log_a x (a ＞ 1)$ 的增长速度越来越慢，因此总会存在一个 $x_0$，当 $x ＞ x_0$ 时，恒有 $b^x ＞ kx ＞ \log_a x$。