《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 下列图象对应的函数中能用二分法求零点的是(C)


 

答案： 1.C

2. 在用二分法求函数 $f(x)$ 零点的近似值时，若第一次所取的区间是 $[-2,4]$，则第三次所取的区间可能是(D)

A.$[1,4]$
B.$[-2,1]$
C.$\left[-2,\dfrac{5}{2}\right]$
D.$\left[-\dfrac{1}{2},1\right]$

答案： 2.D

【例 2】确定函数 $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}x + x - 4$ 的零点个数，并求出其中最大零点的近似值。（精确度为 $0.1$）

答案：
解:设$y_1=\log_{\frac{1}{2}}x$，$y_2 = 4 - x$，则$f(x)$的零点个数即$y_1=\log_{\frac{1}{2}}x$，$y_2 = 4 - x$的图象的交点个数.
作出两函数的大致图象，如图所示.
　　　　
由图，知$y_1=\log_{\frac{1}{2}}x$与$y_2 = 4 - x$的图象有两个交点，其中一个交点的横坐标在区间$(0,1)$上，另一个交点的横坐标大于$4$.
因为$f(6)=\log_{\frac{1}{2}}6 + 6 - 4=\log_{\frac{1}{2}}6 + 2＜\log_{\frac{1}{2}}4 + 2 = 0$，$f(7)=\log_{\frac{1}{2}}7 + 7 - 4=\log_{\frac{1}{2}}7 + 3＞\log_{\frac{1}{2}}8 + 3 = 0$，
结合图象可知另一个交点的横坐标在区间$(6,7)$上.
综上分析，知函数$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x + x - 4$的零点个数为$2$，且在区间$(6,7)$上有最大零点$x_0$.
取区间$(6,7)$的中点$x_1 = 6.5$，
用计算器算得$f(6.5)\approx - 0.200$.
因为$f(6.5)\cdot f(7)＜0$，所以$x_0\in(6.5,7)$.
再取区间$(6.5,7)$的中点$x_2 = 6.75$，
用计算器算得$f(6.75)\approx - 0.005$.
因为$f(6.75)\cdot f(7)＜0$，
所以$x_0\in(6.75,7)$.
再取区间$(6.75,7)$的中点$x_3 = 6.875$，
用计算器算得$f(6.875)\approx0.094$.
因为$f(6.75)\cdot f(6.875)＜0$，
所以$x_0\in(6.75,6.875)$.
再取区间$(6.75,6.875)$的中点$x_4 = 6.8125$，
用计算器算得$f(6.8125)\approx0.044$.
因为$f(6.8125)\cdot f(6.75)＜0$，
所以$x_0\in(6.75,6.8125)$.
由于$\vert6.75 - 6.8125\vert = 0.0625＜0.1$，
所以函数$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}x + x - 4$的最大零点的近似值可取$6.75$.

3. 在用二分法求函数 $f(x)$ 的一个零点的近似值时，经计算，$f(0.64) ＜ 0$，$f(0.8) ＞ 0$，$\dfrac{0.64 + 0.8}{2} = 0.72$，$f(0.72) ＜ 0$，若精确度为 $0.1$，则函数 $f(x)$ 的零点近似值为(C)

A.$0.64$
B.$0.65$
C.$0.72$
D.$0.71$

答案： 3.C

【例 3】求方程 $\lg x = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{x} - 1$ 的近似解（精确度为 $0.1$）。

答案：
解:作出$y = (\frac{1}{2})^x - 1$与$y = \lg x$的图象，如图所示.
　　　　
由函数$y = \lg x$与$y = (\frac{1}{2})^x - 1$的图象可知方程$\lg x = (\frac{1}{2})^x - 1$有唯一实数解，且在区间$(0,1)$上.
设$f(x)=\lg x - (\frac{1}{2})^x + 1$，$f(1)=\frac{1}{2}＞0$，用计算器计算，列表如下:
　　在零点区所间　　　中点的值　　中近点似函值数
　　　$(0,1)$　　　　$0.5$　　　$-0.0081$
　　$(0.5,1)$　　　　$0.75$　　　$0.2805$
　　$(0.5,0.75)$　　　$0.625$　　　$0.1475$
　　$(0.5,0.625)$　　$0.5625$　　　$0.0730$
　$(0.5,0.5625)$　　$0.53125$　　$0.0333$
因为$\vert0.5 - 0.5625\vert = 0.0625＜0.1$，所以函数$f(x)$的零点的一个近似值为$0.5625$，即方程$\lg x = (\frac{1}{2})^x - 1$的近似解可取为$0.5625$.