《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 多选题 周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从$A$地出发前往$B$地进行骑行训练，甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发$5$min。乙骑行$25$min后，甲以原来速度的$\dfrac{8}{5}$继续骑行，经过一段时间，甲先到达$B$地，乙一直保持原来的速度前往$B$地。在此过程中，甲、乙两人相距的路程$y$(单位：m)与乙骑行的时间$x$(单位：min)之间的关系如图所示，则下列说法正确的是(ABD)


A.乙的速度为$300$m/min
B.$25$min后甲的速度为$400$m/min
C.乙比甲晚$14$min到达$B$地
D.$A$，$B$两地之间的路程为$29400$m

答案： 1.ABD

2. 函数$y=\dfrac{2x^{3}}{2^{x}+2^{-x}}$在区间$[-6,6]$上的图象大致为(B)


 

答案： 2.B

3. 已知定义在$\mathbf{R}$上的奇函数$f(x)$，当$x\gt0$时，$f(x)=-x^{2}+2x$。
(1)求函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上的解析式；
(2)若函数$f(x)$在区间$(-1,a - 2)$上单调递增，求实数$a$的取值范围。

答案：
3.解：
(1)设$x ＜ 0$,则$-x ＞ 0,f(-x)=-(-x)^2 + 2(-x)=-x^2 - 2x$.
又因为$f(x)$为奇函数,所以$f(-x)=-f(x)$,且$f(0)=0$.
于是$x ＜ 0$时,$f(x)=x^2 + 2x$.
所以$f(x)=\begin{cases} -x^2 + 2x, x \geq 0, \\ x^2 + 2x, x ＜ 0. \end{cases}$
(2)作出函数$f(x)=\begin{cases} -x^2 + 2x, x \geq 0, \\ x^2 + 2x, x ＜ 0. \end{cases}$的图象,如图.

由图象可知,要使$f(x)$在区间$(-1,a - 2)$上单调递增,
则$\begin{cases} a - 2 ＞ -1, \\ a - 2 \leq 1, \end{cases}$解得$1 ＜ a \leq 3$,
故实数$a$的取值范围是$(1,3]$.