《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例1】判断下列函数的奇偶性：
（1）$f(x)=\frac{1}{x}-x$；
（2）$f(x)=|x - 2| + |x + 2|$；
（3）$f(x)=\frac{x^{2}+2x}{x + 2}$；
（4）$f(x)=\begin{cases}1 + x,x\gt0,\\1 - x,x\lt0.\end{cases}$
【思路探索】
如何判断函数的奇偶性？

答案： 1. 对于$f(x)=\frac{1}{x}-x$：
函数$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，关于原点对称。
$f(-x)=\frac{1}{-x}-(-x)=-\frac{1}{x}+x=-(\frac{1}{x}-x)=-f(x)$。
所以$f(x)$是奇函数。
2. 对于$f(x)=|x - 2| + |x + 2|$：
函数$f(x)$的定义域为$R$，关于原点对称。
$f(-x)=|-x - 2| + |-x + 2|=|x + 2| + |x - 2|=f(x)$。
所以$f(x)$是偶函数。
3. 对于$f(x)=\frac{x^{2}+2x}{x + 2}$：
函数$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq - 2\}$，不关于原点对称。
所以$f(x)$是非奇非偶函数。
4. 对于$f(x)=\begin{cases}1 + x,x\gt0\\1 - x,x\lt0\end{cases}$：
函数$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq0\}$，关于原点对称。
当$x\gt0$时，$-x\lt0$，$f(-x)=1-(-x)=1 + x=f(x)$；
当$x\lt0$时，$-x\gt0$，$f(-x)=1+(-x)=1 - x=f(x)$。
所以$f(x)$是偶函数。
综上，答案依次为：（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）偶函数。
用定义判断

1. 判断下列函数的奇偶性：
（1）$f(x)=x^{4}+2x^{2}$；
（2）$f(x)=x^{3}+\frac{1}{x}$；
（3）$f(x)=\sqrt{x^{2}-1}+\sqrt{1 - x^{2}}$；
（4）$f(x)=\begin{cases}x^{3}-3x^{2}+1,x\gt0,\\x^{3}+3x^{2}-1,x\lt0.\end{cases}$

答案： 1.解:
(1)偶函数.
(2)奇函数.
(3)既是奇函数，又是偶函数.
(4)奇函数.

【例2】(1)已知偶函数$y = f(x)$的局部图象如图所示，则$f(1)$$f(3)$(填“$\gt$”“$\lt$”或“$=$”)。

答案：
(1)＜
 

(2)已知函数$f(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$，$f(x)$在区间$[0,+\infty)$上的图象如图所示，请据此在该坐标系中补全函数$f(x)$在定义域内的图象，并说明你的作图依据。

答案：

(2)解:因为$f(x)=\frac {1}{x^{2}+1}$,所以$f(x)$的定义域为$\mathbf{R}$,又因为对任意$x\in\mathbf{R}$,都有$f(-x)=\frac {1}{(-x)^{2}+1}=\frac {1}{x^{2}+1}=f(x)$,所以$f(x)$为偶函数,故$f(x)$的图象关于$y$轴对称,补全图象如图所示: