《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

1. 下列命题中正确的个数是(A)
①若$a ＞ b$，$b \neq 0$，则$\frac{a}{b} ＞ 1$；
②若$a ＞ b$，且$a + c ＞ b + d$，则$c ＞ d$；
③若$a ＞ b$，且$ac ＞ bd$，则$c ＞ d$。

A.0
B.1
C.2
D.3

答案： 1.A

2. 多选题已知$x ＞ 0$，$y ＜ 0$，$z ＜ 0$，则下列不等式成立的是(BC)

A.$x ＞ yz$
B.$xz ＜ yz$
C.$\frac{z}{x} ＜ \frac{z}{y}$
D.$\frac{x}{y} ＜ \frac{x}{z}$

答案： 2.BC

【例2】已知$-6 ＜ a ＜ 8$，$2 ＜ b ＜ 3$，分别求$2a + b$，$a - b$的取值范围。

答案： 【例2】解：因为$-6＜a＜8$，$2＜b＜3$，所以$-12＜2a＜16$，所以$-10＜2a+b＜19$。由题意得$-3＜-b＜-2$，所以$-9＜a-b＜6$。

3. 变式练本例的条件不变，求$\frac{a}{b}$的取值范围。

答案： 3.解：因为$2＜b＜3$，所以$\frac{1}{3}＜\frac{1}{b}＜\frac{1}{2}$。当$0\leq a＜8$时，$0\leq\frac{a}{b}＜4$；当$-6＜a＜0$时，$-3＜\frac{a}{b}＜0$。所以$-3＜\frac{a}{b}＜4$。

4. 同类练若$1 \leq a \leq 2$，$3 \leq b \leq 6$，则$3a - 2b$的取值范围为-9≤ 3a-2b≤ 0。

答案： 4.$-9\leq 3a-2b\leq 0$

5. 拔高练已知$2 ＜ a ＜ 3$，$-4 ＜ b ＜ -3$，分别求$a + b$，$a - b$，$\frac{a}{b}$，$ab$，$\frac{b^2}{a}$的取值范围。

答案： 5.解：因为$2＜a＜3$，$-4＜b＜-3$，所以$3＜-b＜4$，$-\frac{1}{3}＜\frac{1}{b}＜-\frac{1}{4}$，$-2＜a+b＜0$，所以$5＜a-b＜7$，$\frac{1}{4}＜-\frac{1}{b}＜\frac{1}{3}$，所以$\frac{1}{2}＜-\frac{a}{b}＜1$，即$-1＜\frac{a}{b}＜-\frac{1}{2}$。易知$6＜-ab＜12$，所以$-12＜ab＜-6$。因为$9＜b^2＜16$，$\frac{1}{3}＜\frac{1}{a}＜\frac{1}{2}$，所以$3＜\frac{b^2}{a}＜8$。综上，得$-2＜a+b＜0$，$5＜a-b＜7$，$-1＜\frac{a}{b}＜-\frac{1}{2}$，$-12＜ab＜-6$，$3＜\frac{b^2}{a}＜8$。

【例3】已知$a ＜ b ＜ 0$，求证：$\frac{b}{a} ＜ \frac{a}{b}$。

答案： 【例3】证明：因为$a ＜ b ＜ 0$，所以$0 ＜ b^2 ＜ a^2$，$ab ＞ 0$，所以$\frac{1}{ab} ＞ 0$，所以$\frac{b^2}{ab} ＜ \frac{a^2}{ab}$，即$\frac{b}{a} ＜ \frac{a}{b}$。

6. 已知$a ＞ b ＞ 0$，$c ＜ d ＜ 0$，求证：$\frac{a}{d} ＜ \frac{b}{c}$。

答案： 6.证明：因为$c＜d＜0$，所以$-c＞-d＞0$。又因为$a＞b＞0$，所以$-ac＞-bd＞0$，所以$ac＜bd$。又因为$c＜0$，$d＜0$，所以$cd＞0$。所以$\frac{ac}{cd}＜\frac{bd}{cd}$，即$\frac{a}{d}＜\frac{b}{c}$。