《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

6. 用量词符号“$ \forall $”“$ \exists $”表达下列命题：
（1）所有的有理数 $ x $ 都使得 $ \frac{1}{3}x^{2} + \frac{1}{2}x + 1 $ 是有理数；
（2）一定有实数 $ \alpha $，$ \beta $，使得 $ \alpha + \beta = \alpha\beta $；
（3）一定有整数 $ x $，$ y $，使得 $ 3x - 2y = 10 $；
（4）所有的实数 $ a $，$ b $，方程 $ ax + b = 0 $ 恰有一个解.

答案： $6.（1）∀x∈Q,\frac{1}{3}x²+\frac{1}{2}x+1$是有理数.（2）∃α,β∈R,α+β=αβ.（3）∃x,y∈Z,3x−2y=10.（4）∀a,b∈R,方程 ax+b=0 恰有一个解.

7. 下列全称量词命题中真命题的个数为(C)
① 负数没有平方根；
② 对任意的实数 $ a $，$ b $，都有 $ a^{2} + b^{2} \geq 2ab $；
③ 二次函数 $ f(x) = x^{2} + ax - 2 $ 的图象与 $ x $ 轴恒有交点；
④ $ \forall x $，$ y \in \mathbf{R} $，$ x^{2} + |y| ＞ 0 $.

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 3 $
D.$ 4 $

答案： 7.C

8. 下列四个命题：
① 没有一个无理数不是实数；② 空集是任何一个非空集合的真子集；③ $ 1 + 1 ＜ 2 $；④ 至少存在一个整数 $ x $，使得 $ x^{2} - x + 1 $ 是整数.
其中是真命题的为(C)

A.①②③④
B.①②③
C.①②④
D.②③④

答案： 8.C

9. 若“$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ x^{2} + 2x + m ＞ 0 $”是真命题，则实数 $ m $ 的取值范围是m＞1.

答案： 9.m＞1

10. 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：
（1）凸多边形的外角和等于 $ 360^{\circ} $；
（2）有的字母不能表示一个未知数；
（3）有一个函数是一次函数，且其图象过原点；
（4）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直.

答案： 10.（1）可以改写为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，故为全称量词命题.（2）含有存在量词“有的”，故是存在量词命题.（3）含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题.（4）“若一个四边形是菱形”，即“所有的菱形”，故为全称量词命题.

11. 多选题 有下列四个命题，其中为真命题的是(ACD)

A.$ \forall x \in \mathbf{R} $，$ 2x^{2} - 3x + 4 ＞ 0 $
B.$ \forall x \in \{1, - 1, 0\} $，$ 2x + 1 ＞ 0 $
C.$ \exists x \in \mathbf{N} $，$ x^{2} \leq x $
D.$ \exists x \in \mathbf{N}^{*} $，使 $ x $ 为 $ 29 $ 的因数

答案： 11.ACD

12. 多空题 下列命题中，是全称量词命题的为①②③，是存在量词命题的为④.(只填序号)
① 正方形的四条边都相等；
② 有两个角相等的三角形是等腰三角形；
③ 正数的平方根不等于 $ 0 $；
④ 至少有一个正整数是偶数.

答案： 12.①②③ ④