《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

4. 某农产品从 5 月 1 日起开始上市，通过市场调查，得到该农产品种植成本 $ Q $（单位：元/百千克）与上市时间 $ t $（单位：天）的数据如下表：

(1) 根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述该农产品种植成本 $ Q $ 与上市时间 $ t $ 的变化关系：$ Q = at + b $，$ Q = at^{2} + bt + c $，$ Q = ab^{t} $，$ Q = a\log_{b}t $；
(2) 利用(1)中选取的函数，求该农产品种植成本最低时的上市时间及最低种植成本.

答案： 4.解:
(1)根据题表中提供的数据，知描述该农产品种植成本$Q$与上市时间$t$的变化关系的函数不可能是常数函数，因此用函数$Q = at + b$，$Q = ab^{t}$，$Q = a\log_{b}t$中的任何一个进行描述时都应有$a \neq 0$，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格中所提供的数据不符，所以应选取函数$Q = at^{2} + bt + c$（$a \neq 0$，因为当$a = 0$时，该函数为单调函数，与表中提供的数据不符）进行描述.
(2)将题表所提供的三组数据分别代入$Q = at^{2} + bt + c$，得
$\begin{cases}150 = 2500a + 50b + c\\108 = 12100a + 110b + c\\150 = 62500a + 250b + c\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = \frac{1}{200}\\b = - \frac{3}{2}\\c = \frac{425}{2}\end{cases}$
所以$Q = \frac{1}{200}t^{2} - \frac{3}{2}t + \frac{425}{2} = \frac{1}{200}(t - 150)^{2} + 100$，
当$t = 150$时，$Q$取得最小值，$Q_{min} = 100$.即该农产品种植成本最低时的上市时间为150天，最低种植成本为100元/百千克.

【例 4】某个体商户把开始六个月试销 A，B 两种商品的逐月投资与所获纯利润整理成下面两个表：
该商户准备下月投入 12 万元经营这两种商品，请你帮助做一个资金投资方案，使该商户能获得最大纯利润，并按你的方案求出该商户下月可获得的最大纯利润（结果保留一位小数）.


【思路探索】
如何确定函数模型?

答案： 投资A商品3.2万元，B商品8.8万元，最大纯利润4.1万元。
待定系数法