《2025年人教金学典同步解析与测评高中数学必修第一册人教版福建专版》

【例1】解下列不等式：
（1）$2x^2 - 3x - 2 ＞ 0$；
（2）$-3x^2 - 6x - 2 ＞ 0$.

答案：
解:
(1)方程$2x^{2}-3x - 2 = 0$的解是$x_{1}=-\frac{1}{2}$，$x_{2}=2$，作出对应函数图象的示意图如图所示，所以不等式的解集是$\{x\mid x＜-\frac{1}{2}$，或$x＞2\}$.

(2)不等式可化为$3x^{2}+6x+2＜0$.
方程$3x^{2}+6x+2=0$的解是$x_{1}=-1-\frac{\sqrt{3}}{3}$，$x_{2}=-1+\frac{\sqrt{3}}{3}$.
因为函数$y = 3x^{2}+6x+2$的图象是开口向上的抛物线，
所以原不等式的解集是$\{x\mid-1-\frac{\sqrt{3}}{3}＜x＜-1+\frac{\sqrt{3}}{3}\}$.

1. 设集合 $M = \{x | x^2 - x ＜ 0\}$，$N = \{x | -2 ＜ x ＜ 2\}$，则(B)

A.$M \cap N = \varnothing$
B.$M \cap N = M$
C.$M \cup N = M$
D.$M \cup N = \mathbf{R}$

答案： 1.B

2. 不等式 $-x^2 - x + 2 \geq 0$ 的解集为(C)

A.$\{x | 1 \leq x \leq 2\}$
B.$\{x | -2 ＜ x ＜ 1\}$
C.$\{x | -2 \leq x \leq 1\}$
D.$\varnothing$

答案： 2.C

【例2】(1)若关于 $x$ 的不等式 $ax^2 + bx + 2 ＞ 0$ 的解集为 $\{x | -1 ＜ x ＜ 2\}$，则 $a + b =$0.
 （2）解关于 $x$ 的不等式 $ax^2 - (a + 1)x + 1 ＜ 0$.
【思路探索】
（1）一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的端点有什么联系？
（2）当不等式的二次项含有参数时，应如何对参数进行讨论？

答案：
(1)0
@@
(2)解:当$a = 0$时，不等式化为$-x + 1＜0$，则不等式的解集为$\{x\mid x＞1\}$.当$a\neq0$时，不等式可变为$a(x-\frac{1}{a})(x - 1)＜0$.①当$a＜0$时，不等式可化为$(x-\frac{1}{a})(x - 1)＞0$，则不等式的解集为$\{x\mid x＞1$，或$x＜\frac{1}{a}\}$；②当$a = 1$时，不等式可化为$(x - 1)^{2}＜0$，则不等式的解集为$\varnothing$；③当$a＞1$时，不等式可化为$(x-\frac{1}{a})(x - 1)＜0$，则不等式的解集为$\{x\mid\frac{1}{a}＜x＜1\}$；④当$0＜a＜1$时，不等式可化为$(x-\frac{1}{a})\cdot(x - 1)＜0$，则不等式的解集为$\{x\mid1＜x＜\frac{1}{a}\}$.
(1)方程的根就是不等式解集端点
(2)考虑参数等于0和不等于0情况,还要考虑二次项系数大于0和小于0

3. 变式练 本例第(1)小题的条件不变，则关于 $x$ 的不等式 $bx^2 - ax - 2 ＞ 0$ 的解集为$\{x\mid x＞1$，或$x＜-2\}$.

答案： 3.$\{x\mid x＞1$，或$x＜-2\}$

4. 同类练 若关于 $x$ 的不等式 $ax^2 + 3x - 2 ＞ 0$ 的解集为 $\{x | 1 ＜ x ＜ b\}$，则 $a$，$b$ 的值分别为(C)

A.$a = 1$，$b = -2$
B.$a = 2$，$b = -1$
C.$a = -1$，$b = 2$
D.$a = -2$，$b = 1$

答案： 4.C

5. 拔高练 若关于 $x$ 的不等式 $(a + b)x + 2a - 3b ＜ 0$ 的解集为 $\{x | x ＞ -\frac{3}{4}\}$，则关于 $x$ 的不等式 $(a - 2b)x^2 + 2(a - b - 1)x + a - 2 ＞ 0$ 的解集为( B)

A.$\{x | x ＜ -3 + \frac{2}{b}$，或 $x ＞ -1\}$
B.$\{x | -3 + \frac{2}{b} ＜ x ＜ -1\}$
C.$\{x | x ＜ 1$，或 $x ＞ 3 - \frac{2}{b}\}$
D.$\{x | 1 ＜ x ＜ 3 - \frac{2}{b}\}$

答案： 5.B